负折射率材料探究

d2 dx2
E(x)
k 2 E( x)
2
jk0n (x
x0 )
jwuJ0 (x
x0 )
式中k k0n, k0 0u0为真空中的波数，n为折射率 比较函数前面的系数得到：
wu
2k0n
J0
0ur 2n
J0
式中0 u0 / 0 ,于是得到
E(x)
0ur 2n
J0 exp( jk
|
x
x0
|)
性质的两个重要参数。根据麦克斯韦方程：
E B ； H D ；
t
t
（1）
物质的本构关系：
B=µ H ; D= ε E;
（2）
对于平面单色波，有 E(r) Eo e jkr 及 H (r) Hoe jkr ;
（3）
将 （2），（3）式代入（1）中，得到
Ho
1
k E0;
Eo
1
k H0;
11 sin ,
k
t x
22 sin
;因此得到：
11 sin 22 sin ，即 n1 sin n2 sin 。整个证明过程与在正折射率介
质中并无太大差异，可见Snell 定律在负折射率介质中仍是成立的。有所区别之处在于对于
折射率： n2 ,在正折射率介质中，n取的是正平方根，而在负折射率介质中，n应取负
2v
4n
由于在负折射率材料中，ur 0,因此从上式中可以看出n<0.
（3）电磁波在正负折射率材料上的折射和反射 由于折射率为负，使得根据 snell 定律，使得得到的折射图像发生变化，下面分从正折射率 到负折射率，负折射率到正折射率，负折射率到负折射率三种情况进行讨论：
根据边界面得切向电场和磁场连续，我们可以确定入射、反射、折射的 kx 分量相同，于是
（4）
由（4）可以看出，当ε >0且µ>0时，电场E,磁场H和传播常数k满足我们熟悉的右手螺 旋关系；而当ε <0且µ<0时，上述三者满足的是左手螺旋关系，这时介质就被称为左手介质 （left-handed material , 简称LHM），其实也就是我们所讨论的NIM。见图示。
图一：左图为在正折射率介质中，E,H,k三者呈右手螺旋关系； 右图为在负折射率介质中，E,H,k三者呈左手螺旋关系
近年来，越来越多的科学家在 SRR 的基础上展开研究，设计出了很多其他类型的 SRR， 同时也产生了很多分析 SRR 谐振频率带的方法，下面举两个例子进行说明： （1） 将开路环谐振器看成是 LC 震荡回路（Magnetic Response of Metamaterials at
100 Terahertz）：
处的电容，L 为 SRR 环的电感，由于有很多束的 SRR 组合在一起，单束的 SRR 环中的磁
通量必定有来自于其他 SRR 环的磁通量，为此要引入一个互感M ,因此下面的分析，就
是要先用器件的参数来表示出 L 和 M，然后求得磁导率的表达式。
给所有的 SRR 环一个交变的磁场 H 0 ，则在 SRR 环中将会产生绕环的电流假设一束 SRR
(1)Experimental Verification of a Negative Index of Refraction 第一次的验证是 Smith 教授的工作团队在 2000 年完成的，实验装置如左下图，利用重复的 铜带（copper）和开环谐振器（Split-ring resonator）。
得到当从正折射率射到负折射率时，折射角应该为负值，当从负折射材料入射到正折射材料 中时，折射角也为负值，当从负折射率材料进入到负折射率材料中时 ，折射角为正值，上面 三个图中标出的方向是波数的方向，而不一定是波传播的方向。在负折射率材料中也能够发 生全反射，结果和公式和在正折射率材料中一样。
三、实验验证
m
r
1
wp2 w2
，r
(1 F）ww22
wb2 w02
,
其中wb w0 / 1 F w0，从而波数k表示为：
k2
w2
1 c
(1
F)
(w2
wp2 )(w2 w2 w02
wb2 )
构造物质使得wp wHale Waihona Puke Baidu ,当角频率w
满足条件w0 w wb时，，同时为负，
但k 2为正，目前实验设计的工作频段就是
为负的人工介质。 美国UC SanDiego的研究小组在负折射率这个领域进行了很多试验，并历史性的制成了
具有负折射率性质的材料。2001年4月6日，美国加州大学圣迭戈分校的David Smith等人在 美 《 Science 》 上发 表 了题 为 “ Experimental Verification of a Negative Index of Refraction”的论文, 沿用Pendry的方法，构造出了介电常数与磁导率同时为负的人工介质。 并通过实验观察到了微波频段的电磁波通过这种人工媒质与空气的交界面时发生的“负折射 现象”。美国科学家的这些新的研究成果，引起了学术界的巨大轰动，同时给了NIM这个当 今国际科学研究重要课题重要的理论与实验基础。
上图左下角是测量装置，被测样品(棱镜)置于两
块圆形铝板(直径30cM )之间，板 距1.2cm。粗黑箭 头表示来波 方向和折射( 按n>0)方向，检 测器是用x频段波 导连接的微波 功率测量装 置，实际上是 用波导——同 轴转换器及HP8756A 型标量网络分析仪 。微波波束从 棱镜射出时， 表面为折射界 面(按Snell定律 规定的角度方
环在 y 方向延伸到无穷远，我们可以将整束的 SRR 环看成一个平面，上面流有电流 I0 ，方向如上图所示。由于两层之间留有间隙l ，我们可以知道整个的平面上的电流密度
E
r y
(x,
z)
be
e jk
r x
x
jk
i z
z
，
H
r x
(x,
z)
1
E
r y
j1 z
r
k be e z
jk
r x
x
jk
r z
z
1
在负折射率介质内部，折射波的电场和磁场分量表示为：
E
t y
(x,
z)
ce
e jk
t x
x
jk
t z
z
，
H
t x
(
x,
z)
1
E
t y
j2 z
k
t z
ae e
jk
t x
另一方面，我们由麦克斯韦方程组变形后可以得到：
E J * （E H*）+jw(E D*-B H*) 上式右边的第一项对应于复坡印亭矢量的散度 第二项对应于复电磁能，它们的值都是正的，因此 方程左边的实部和虚部也是正的，于是计算左边的平均功率有：
P=- 1 E J *dv 0 J02ur 0
E jwB ； H jwD J
B H,D E
得到：
2E(r) k 2E(r) jwuJ (r)
E z0E(x)
J (r) z0 J0 (x x0 )
d2 dx2
E(x)
k 2 E( x)
jwuJ0 (x
x0 )
用待定系数法界方程，设：
E(x) exp( jk | x x0 |) 式子中的为待定系数，带入微分方程，得到：
向)。现在把检测 器安装在可旋 转的架子上(1.5 °步进)，这 时试验人员就 可以对RHM，LHM
分别测量其接收电平与角度( )的关系，并作比较。图4是取频率f=10.5GHz时接收电平与折
射角的关系，为了方便，把两种样品的峰值电平都归一化为1。结果是，对于常规材料(RHM)
的Teflon，峰值发生在27°处，对应n＝1．4 0．1;对于LHM系统，峰值发生在-61°处， 对应n＝－2．7 0．1j．可见，在LHM情况下、折射角与BHM相差88° (接近π ／2即90度)．故
1968年，前苏联物理学家V．G．Veselago首次提出NIM(negative index material，和 左手化媒质的物理思想，该理论认为微波穿过LHM时将射向与Snell定律不同的方向。 同时, 他断言，平面电磁波在一个同时具有负介电常数和负导磁率的媒质中传播时其方向将与能流
方向相反。1996年，英国皇家学院的John Pendry指出可以用细金属导线阵列构造介电常数
之间，都可以使得介电常数为负值。但是在自然界中的磁导率却不为负值，现在人工合成了
负的磁导率材料，下面研究副折射率材料的基本性质和我们在电磁场与电磁波中学过的正折
射率材料有什么不同。
（1）K 与 S 相反
介电常数（permittivity）ε 和磁导率（permeability）µ是决定电磁波在介质中传播
在一定频率(满足LHM要求的频率)下，折射角按与Snell定律指示的不同方向偏转，呈现n<0。 右上图是折射率与频率的关系(虚线为Teflon ,实线为LHM)。当f = 1012~1018GHz 时,LHM 处 在负折射率频区,且具有高度色散性。右下图说明折射率可以为负。
电磁场课本上用将周期金属棒阵列结构和等离子体等效的方式推导出了下面的结论：
x
jk
t z
z
2
由前述交接面两边电场，磁场切向分量连续的条件，要求对于任何x,满足
ae
jk
i x
x
be
jk
r x
x
ce
jk
t x
x
；
k
i z
ae
jk
i x
x
k
r z
be
jk
r x
x
k
t z
ce
jk
t x
x
；
1
1
2
则等式两边指数函数中的宗量必须相等：
k
i x
k
r x
k
t x
kx 。又
k
i x
2006年，发表在《Science》上的 ，揭示了隐身衣的原理，让我们对于负反射率材料 的发展更加具有期待。
二、 基本原理
要得到负折射率材料，就要使得介电常数（permittivity）ε 和磁导率（permeability）µ
同时为负数，介电常数要为负数是很简单的，对于金属，只要频率是介于 0 到等离子体频率
(2)将整个的开放式谐振器看成是一个电路
SRR 的实物图（选择众多构造中的一种）如上图所示，将每一束(one column)SRR 环看 成一个整体，通过计算通过一束的电路参数，来求得整个 SRR 的震荡频率，从而理论推 导此 SRR 的磁导率。
将一束 SRR 环等效成右上图的电路图，其中，cg 看成是上面右图中 SRR 的两个半圆相接
负折射率材料探究
龚匡 3071243011
一、 负折射率材料的历史背景和发展
光学中最基本的现象之一是折射，当一束光入射到两种不同介质分界面时，它的路径将 根据两种介质的折射率之差而改变，折射率之差越大，则光束折射越大，对于自然界中所有 已知的介质来说，折射率均取正值，但是通过人工合成，可以得到折射率为负数的材料。
平方根。由于µε 仍为正值，保证了波的传播；而n 取负值，符合能量守恒定理。 2、利用平均功率大于0进行证明： 假设一块无限大的金属薄平板插在无限大的负折射率材料中，金属薄平板上通有角频率为w 的时变电流，电流密度为J。并且注意J的方向与负折射物质的金属线平行，金属薄平板的法
向与开口金属环所在的平面垂直，如下图所示，时变电流产生波矢量为k的平面电磁波，由 麦克斯韦方程组：
r
1
w2
wp2 i
e
w
,
这里wp
nee2
/ 0me为
电等离子体角频率其中ne表示电子密度，
e表示电子电量，me表示电子质量， e
表示电损耗，周期性排列的开口金属环
形的相对磁导率可以表示为：
r
1
w2
Fw2 w02
i
m
w
,
式中0表示
磁共振角频率，F（<1）表示开口环所
占区域的比例系数，
表示磁损耗。无损耗时，有
（2）折射率为负 值 1、最基本的证明方法如下： 在真空一侧，入射波的电场可表示为：
E
i y
(x,
z)
ae
e jk
i x
x
jk
i z
z
，利用麦克斯韦方程，可以得到磁场的x
分量为：
H
i x
(
x,
z)
1 j1
E
i y
z
k
i z
ae e ；
jk
i x
x
jk
i z
z
1
同样，反射波的电场和磁场分量表示为：
位于此频段的微波波段。
但是上面的装置在频率高于200THZ时，原因是SRR的构成金属不再是理想的导体。尽管开环
谐振器构成的人工 负折射率材料 对于证明负折 射率的合理性做 出了很大的贡 献，但是在发 展的过程中还是遇 到了很多的困 难，比如说这 些开环谐振器和 金属线组合起 来构成的在奈
米尺度上的三维结构就很有挑战性。因此大家都在寻找新的方式改进，使得频率高于THZ或 者在可见光的频率 时，都能够实 现负折射率。200 5年三组团队 独立实现了这 个目标，被电 介质板隔开的成对 金属线或者金 属板能够实 现磁的谐振。200 5年和2006年最 好的设计就是 所谓的”double-fishnet”的结构，这对metal fishnets被电介质隔片隔开。虽然选择金 属构成副折射率材 料不是最好的 选择，但是在 光波频率内金属 却很重要，因 为在光波内， metamaterial的损失都是由金属造成的，而选用银可以使得损耗最小