17相对论习题(解析版)

※18狭义相对论习题精选（解析版）

卢宗长

一、 狭义相对论的两条基本假设 1．经典的相对性原理—速度的合成法则

2．光的传播与经典的速度合成法则存在矛盾，狭义相对论提出的两条基本假设是：相对性原理与光速不变原理。

3.“事件”概念是理解同时的相对性的基础，“地面上认为同时的两个事件，对于沿着两个事件发生地的连线的观察者来说，更靠前面的那个事件发生在先”要记住这个结论。 二、时间和空间的相对性 1.长度的相对性：2

0)(1c

v

l l -=

2.时间的相对性：

2

')(1c

v t t -∆=

∆

三、狭义相对论的其它三个结论

1.相对论速度变换公式：2

'

'1c

v u v

u v +++= 2．相对论质量公式：2

0)(1c

v m m -=

3.质能方程：2

mc E =

4.相对论动能 ：22

00K E E E mc m c =-=-

一．例题

1.S 系中平面上一个静止的圆的面积为122

cm 在S '系测得该圆面积为多少？已知S '系在

0='=t t 时与S 系坐标轴重合，以-0.8c 的速度沿公共轴x x '-运动。 解：在S '系中观测此圆时，与平行方向上的线度将收缩为

2

1⎪⎭⎫

⎝⎛-c v R 而与垂直方向上的线度不变，仍为2R ，所以测得的面积为（椭圆面积）：

22

222.711cm c v R R c v ab S =⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==πππ

（式中a 、b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴）

2.S 系中记录到两事件空间间隔m x 600=∆，时间间隔s t 7

108-⨯=∆，而s '系中记录

0='∆t ，求s '系相对s 系的速度。

解：设相对速度为v ，在S 系中记录到两事件的时空坐标分别为)t ,(x )t ,(x 2211、

；S '系中记录到两事件的时空坐标分别),('

1'

1t x 为及),('

2'

2t x 。 由洛仑兹变换得：

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=x c v t t 2'γ 得： ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆γ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---γ=-=∆x c v t )x x (c v )t t (t t t 212212'

1'2'

根据题意得： S 10

8t ,m 600x ,0

t 1

'

-⨯=∆=∆=∆

C 4.0s /m 102.1t x c v x c v t 0822=⨯=∆∆=⇒⎪⎭

⎫

⎝⎛∆-∆γ=

3. 一根米尺静止在's 系中，和''x o 轴成 30角，如果S 系中测得该米尺与ox 轴成 45角，'

s 系相对s 系的速度是多少？s 系中测得米尺长度是多少？

解：如图，由题意知，在'S 系中米尺在'

'x o 及'

'y o 方向上的投影的长度为：

sin30l l

30cos l l y x '=''=' 其中 m 1l =' 设在S 系中测得米尺长为l,则米尺在ox,oy 方向上的投影的长度为：

y x y x l l 45sin l l 45cos l l ===即

因为尺在oy 方向上的投影长度不变即：'

y y l l = 于是有

30sin l l l l '

y y x '=== 由S 系测得尺在ox s

s '

x

y

l

⇒⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

''2'x

x c v 130cos l 30sin l c v 1l

l 即

C 816.030cos 30sin 1c v 2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 在S 系中测得米尺的长度为：

m 707.045

cos 30sin l 45cos l l 'x ===

4.宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时该飞船头部的宇航员向飞船尾部发

出一个光讯号，经过t ∆（飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则飞船的固有长度是多少？

解：飞船的固有长度就是相对于飞船静止的观察者测得的飞船长度。 由题意知，飞船的固有长度为t c L ∆=

5.一立方体，沿其一棱的方向以速度v 运动试证其体积和密度为201V V β-=和

002V /m γ=ρ。式中00v m 、为静止质量和体积，2

11c /v β

-=

γ=β。

证明：设立方体静止时的长、宽、高分别以000z y x 、、表示；当立方体沿其一棱方向以速度v 相对于观察者测得立方体的长、宽、高分别为： 002

z z ,y y ,c v 1x x ==⎪⎭

⎫

⎝⎛-= 相应的体积为：

202

02

001V c v 1V c v 1z y x xyz V β-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-== 以v 运动的立方体，其

质量为 2

01m m β

-=

于是密度：

0022

020V m 1V 1

1m V m γ=β-⋅β-==

ρ 6.一火箭的固有长度L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为1v ，火箭有一个人从火箭的后端向火箭前端的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为2v 的子弹，问在火箭上测得子弹从射出到击中靶子的时间间隔是多少？

解：由题意火箭上发射的子弹从发射到击中靶子所前进的距离为火箭的固有长度L ，于是子弹前进L 距离所需时间就是所求的时间间隔 即 2

v L t =

∆