材料力学附录 平面图形的几何性质

I y Iz 2

I y Iz 2
cos 2a I yz sin 2a
一 、转轴公式
z1
z
I y Iz I y Iz I y1 cos 2α I yz sin 2α 2 2 I y Iz I y Iz I z1 cos 2α I yz sin 2α 2 2 I y1z1 I y Iz sin 2α I yz cos 2α 2
Imin I z0
例9 求图示正方形对过形心 的y1、z1轴的惯性矩和惯性积。
a
z1
z y1 a C y
a4 解：由于： I z I y ，I yz 0 12
，
a
则I y
1
I y Iz 2
I y Iz 2

I y Iz 2
I y Iz 2
cosa I yz sin2a
z1
y
2
100
I y I yC a 2 A
I I
1 yC
1 2 3 20 140 20 140 (80 46.7) 12 1 2 3 100 20 100 20 (46.7) 12
1 yC
zc 20 140
2 yC
I yC I
I
2 yC
§Ⅰ-1
一、截面的形心
截面的静矩和形心
z dA C z
z
my gAt z
gdAt z
A
Az zdA
A
O
y
y
y
zdA z
A
A
y
A
ydA A
二、静矩
S y A zdA S z ydA
A
A zdA S y z
A A
A ydA S z y
A
A
( z 2 cos2 a 2 yz sina cosa y 2 sin2 a )dA
y
B
O
y
I y cos2 a 2I yz sina cosa I z sin2 a
Iy 1 cos 2a 1 cos 2a I yz sin2a I z 2 2
yc
yA
i

i
A
y1 A1 y2 A2 A1 A2
25.15 (16 1.75) 26.1 8 12.79cm 25.15 26.1
§Ⅰ-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、定义
I y z 2 dA
A
1、惯性矩
z
I z y 2 dA
A
Ia0 I max ；若Iy<Iz，则
Ia0 I min 。
|2a0|≤π/2，若Iy>Iz，，有
例题5 计算图示图形的形心主惯性矩.
120
40 20 z 20
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴 y z 轴
25 C 35 10
1 I y [ 120 10 3 15 2 120 10] 12 1 [ 10 70 3 10 70 (25)2] 12
ab dA a yC dA b zC dA zC yC dA
A A A A

dA A，
A

A C
z dA 0，

A
yC dA 0，

A C
z yC dA I zC yC

I yz I yczc abA
例题7 解：
求T形截面对其形心轴 yC 、zc的惯性矩和惯性积.
dA
z
2、惯性积
I yz yzdA
A

O y y
3、极惯性矩
I P 2d A
A
例4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴
的惯性矩Iz、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。 解：
I d A
2 A d /2
z d

y
0
(2 d )
2
d 4
32
C
d
A1 20 140 A2 100 20
z 1 80 z2 0
zC 20
所以截面的形心坐标为
140
A1 z 1 A2 z 2 46.7mm zC A1 A2
20
yC
1
I yczc 0
1 1 3 I zC 140 20 20 100 3 12 12 1.76 10 6 m 4
120 10 60 80 10 5 38( mm ) 120 10 80 10
方法2
负面积法
yi Ai y1 A1 y2 A2 y
A A1 A2
z
10 负面积 120 C2 C1 C1（0,0） C2（5,5） y 10
5 ( 80 110) 22 120 90 80 110
z
I y I yC a 2 A I z I zC b2 A
zC
I yz I yC zC abA
a O
C(a,b) y
yC
b
已知：Iyc 、 Izc 、 I yxzc，形心在zOy坐标系下的坐标(b，a)，y//yc, z//zc
求Iz、Iy、Iyz
z b zC y
2 2 2 I y z 2dA A (a zC ) dA A (a 2azC zC )dA
A
yC

2 a 2 dA 2a zC dA zC dA A A A
dA A，
A

A
zC dA 0，

A
2 zC dA I yC
dA zC
C
a O
A
yபைடு நூலகம் z

同理：
I y I yC a 2 A
I z I zC b 2 A
y
I yz yzdA A (b yC )(a zC )dA A (ab ayC bzC zC yC )dA
A A
z
dA z
O
y
y
例1 求图示半径为r的半圆形的形心坐标。 解：
r 2 2
y
Sz y d A y(2 r y ) d y
A 0 r 2 2 2 2
dA
r y d (r y )
0
y
2 3 r 3
S z 2r 3 / 3 4 r y 2 A r / 2 3
n
n
z
Ai z i i 1 Ai i 1
n
n
（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z,
计算 Iy , Iz , Iyz
I y I yi
I z I zi
I yz I yi zi
1
（3）确定形心主惯性轴的方位 （4）计算形心主惯性矩
2 I yz 2a 0 tan ( ) I y Iz 2 I y0 I y I z 1 2 ( I y I z ) 4 I yz 2 2 I z0
§1-4 转轴公式
已知：Iz、Iy、Iyz、a，求 I z1 、I y1 、I y1z1
z z1 y1 dA A a C z E a D z1 y1
。
解：
I y1 z12 dA
A
z1=|AC| =|AD||EB| =zcosaysina
I y1 ( z cosa y sina )2 dA
I y Iz sin 2a 0 I yz cos 2a 0 0 2 2 I yz tg 2a 0 α0，α0+90o I yz I z
（2）主惯性矩的计算公式
I y0
2 I y Iz 1 2 4 I yz (I y I z ) I z0 2 2
Imax I y0
z A z
i
i
A
z1 A1 z 2 A2 A1 A2
90
5 ( 80 110) 22 120 90 80 110
例题3 试确定图示截面形心C的位置. 解：16号槽钢：形心为C1 A1=25.15cm2 z0=1.75cm
16号工字钢：形心为C2 A2=26.1cm2 h=160mm
12.12 10 m
6
4
yC
1
z2
20
y 100
2
【例8】试计算图示组合图形对形心轴zc和yc的惯性矩。 yi Ai y1 A1 y2 A2 解： yc A A1 A2
25.15 (16 1.75) 26.1 8 12.79cm 25.15 26.1
dz
bh dz bz 12
2
3
h
z C
y
hb Iz 12
3
b
Iyz 0
三、组合图形的惯性矩：
I z I zi
i 1 n
，I y I y i ，I zy I yz i
i 1 i 1
n
n
四、惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
§Ⅰ-3 平行移轴公式
一、平行移轴公式
由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到Iρ=Ix+Iy，得到
1 d 4 Iz I y I 2 64
题5 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩和惯性积Iyz。 解：
I y z 2dA A
z
dA bdz
I y z dA A
2 h 2 h 2
查得16号槽钢：形心为C1 A1=25.15cm2 Iz1=83.4cm4 Iy1=935cm4 z0=1.75cm 16号工字钢：形心为C2 A2=26.1cm2 Iz2=1130cm4 Iy2=93.1cm4 h=160mm IyC=Iy1+Iy2=1028.1cm4 IzC=Iz1+(16+1.75-12.79)2A1+Iz2+(12.79-8)2A2=2430cm4
100.4m m4
z
1 1 3 2 [ 120 10 20 120 10] [ 103 70 10 70 (35)2] 278.4 104 mm 4 12 12
I yz [0 15 20 120 10] [0 (25) (35) 70 10] 97.3 104 mm 4
10
例题6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴.
z zC
解：（1）建立坐标系如图. （2）求形心位置.
d
A d πd 2 zi Ai 2 4 z 2 0.177d A πd 2 3d 4 （3）建立形心坐标系，求 I y I z I y z C C C C
a
O
y1
y
注意：a是y轴与y1轴的夹角，由y轴逆时针转到y1轴时 的a为正, 顺時针转取为 负号.
二、截面的主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴：惯性积等于0的一对正交轴。
主惯性矩：截面对主惯性轴的惯性矩. 形心主惯性轴：过形心且惯性积等于0的一对正交轴。
形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩.
（1）主惯性轴的位置
10
y
an2 a 0 (
2 I yz I y Iz
) 1.093
z0
40
z
120 y0
a 0 23.8

20
70
a 0 90 113.8
C
a0=23.8°
y
10
形心主惯形矩为
I y Iz 1 2 2 ( I y I z ) 4 I yz 321 104 mm 4 I y0 2 2 2 I y Iz 1 2 I z0 4 I yz 57.4 104 mm 4 (I y I z ) 2 2
y
Ai yi i 1 Ai i 1
n
n
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
1
y1
120 10 5 80 10 50 23( mm ) 120 10 80 10
z1
2
y2
z2
10 O y 90
A1 z 1 A2 z 2 z A1 A2
I y Iz 2
a4 Iy 12
I z1

cos 2α I yz sin 2α
I y Iz 2
a4 Iy 12
I y1 z1
I y Iz 2
sin 2α I yz cos 2α 0
求形心主惯性矩的方法
（1）确定形心的位置
y
Ai yi i 1 Ai i 1
r C y z O
dy
d A 2 r 2 y2 d y
三、组合截面的静矩和形心
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
z
Ai z i i 1 Ai i 1
n
n
y
Ai yi i 1 Ai i 1
n
n
例题2 试确定图示截面形心C的位置.
解：方法1 正面积法
z 10