(完整版)非线性微分方程解的稳定性

对一切 t t成0 立，则称微分方程
dx f (t, x)
(3)
dt
的解是稳定的，否则是不稳定的。
定义1 如果对任意给定的 0，存在 ( ) 0（ 一 般与 和t0 有关）,使得当任一 x0
满足 x0 时，方程组（3）满足初始条件x(t0) x0 的 x(t)解，均有 x(t) 对
考虑非线性方程组 其中,R(0) 0 且满足条件
dX AX R( X ) dt
R(X ) 0
X
（6） (当 x 0时）
显然是方程组（6）的解，亦是方程组的奇点。
定理2 若特征方程（5）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6） 的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（4）的零解的稳定性态一致，这就 是说，当特征方程（5)的根均具有负实部时，方程组（6）的零解是渐近稳定 的，而当特征方程具有正实部根时，其零解是不稳定的。
xn
)
假设f (0) 0 且 f (x) 在某域G : x A ( A为正常数)内连续的偏导 数，因而方程组（7）的由初始条件x(t0 ) x0 所确定的解在原 点的某个邻域内存在且唯一。显然 x 0 是其特解。
定义4 假设V (x)为在域 x H内定义的一个实连续函数，V (0) 0 如果在此域内恒有 V (x) 0，则称函数 V 为常正的。如果对一 切 x 0 都有V (x) 0，则称函数 V 为定正的。如果函数是 V 定正（或常正）的，则称为 V 定负(或常负）。
y1, L
y2 ,L LL
, L
yn L
)
y&n gn (t; y1, y2 ,L , yn )
或其向量形式
yv& gv(t; yv)
(1)
其中
yv y1 y2 L yn T
gv g1 g2 L gn T
注: 对n阶方程
z(n) g(t; z, z ',L , z(n1) )
(2)
可取变换 y1 z, y2 z,L , yn z(n1)
• 2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。
• 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 • 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 • 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 • 个难题。
19世纪末20世纪初
Poincare(法国) 创立微分方程定性理论 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论
dy dt y(A By)
1 y
A
B By
dy
Adt
ln y ln A By At c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容易得到满足初值条件的特解为
y
A
B
A y0
B
e
At
微分方程解的稳定性严格定义:
考虑微分方程组
y&1 g1(t; y1, y2 ,L , yn )
y&2 L
L
g2 L
(t; L
gv(t; yv%) gv(t; yv) L yv% yv
L 称为利普希茨常数，范数定义为
yv
n
yi 2
i 1
二、李雅普诺夫函数的稳定性
如果对于任意给定的 0， 和 t0都存在 （，t0 ) 0,只要使得 x0 - x1
就有
x(t,t0 , x0 ) -(t,t0 , x1)
的。
三、按线性近似决定微分方程的稳定性
考虑n维常系数线性方程组 dx Ax
(4)
dy
其中为n阶常数矩阵。
它的任意解均可表现为形如：
li
cit em it
m0
的线性组合，这里i 为方程组的系数矩阵A 的特征方程
det(A E)
（5）
的根，为零或正整数，由根的初级因子的次数决定。
定理1 若特征方程（5）的根均具有负实部，则方程组（4）的零解是渐近 稳定的.若特征方程具有正实部的根，则方程组（4）的零解是不稳定的.若 特征方程（5）没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组（4） 的零解可能是稳定的也可能是不稳定的。这要看零根或具有零实部的根其 重数是否等于1。
的解x(t)
均有
lim x(t) 0
t
，则称域
D 0 为（渐近）稳定域或吸引域。若稳定域为全空
间，即0 ，则称零解 x 0 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。
当零解 x 0 不是稳定时，称它为不稳定的。即是说：如果对某个给定的 0 不管 0 怎样小，总有一个x0 满足 x0 ，使得由初始条件 x(t0) x0 ,所确定的 解 x(t) ，至少存在某个 t1 t0 使得 x(t1) 则称方程组（3）的零解x 0 为不稳定
非线性微分方程解的稳定性
姓 名：刘娟娟 学 号：104131212 班 级：数学102 指导老师: 毛旭平
本论文内容提要
• 一、非线性方程的基本概念 • 二、李雅普诺夫函数的稳定性 • 三、按线性近似决定微分方程的稳定性 • 四、李雅普诺夫第二方法 • 五、结论
一、非线性微分方程的基本概念
• 1.自然界绝大部分现象是非线性现象，非线 • 性现象是一种非常复杂的现象。
一切 t t0 成立，则称方程组（3）的零解 x 0 为稳定的。
定义2 如果方程组（3）的零解 x 0稳定，且存在这样的 0 0 ，使当 x0 0时，
满足初始条件x(t0) x0
的解x(t) 均有lim x(t) 0 ,则称零解 x 0 t
为渐近稳定的。
定义3 如果 x 0 渐近稳定，且存在域 D0 ,当且仅当 x0 D0 时满足初始条件x(t0 ) x0
化为（1）式的特殊形式
y&1 y2 Ly&2LLy3
y&n1
yn
y&n g (t; y1, y2 ,L , yn )
问题:（1）式的解存在唯一吗？解能延拓吗？解对初值、参数有连续依赖性和 可微性吗？
当向量值函数gv(t; yv) 满足下面的Lipschitz条件时，上述问题 的回答是肯定的。这一点从前面的基本定理可以推得。
四、李雅普诺夫第二方法
讨论如何应用函数来确定非线性微分方程组的稳定性态
问题，为简单起见，我们只考虑非线性自治微分方程组
其中
dx f (x) dt
（7）
x1
x
x2
L
xn
f1(x1, x2 ,L , xn )
f (x)
f2 (x1, x2 ,L
xn
)
M
fn (x1, x2 ,L
Logistic方程 Logistic方程
两个常数解(平衡解):
dy Ay By2 dt
dy Ay By2, dt
y(0) y0
A y1(t) 0, y2 (t) B
问题：该方程的其它解与这两个平衡解有何关系？具体地说，初值在两个平 衡解附近的解的长期行为怎样？这就是解的稳定性问题。
现在假设 y 0, A , 那么 B