公交车的调度方案

摘要
问题分析：
问题的目标是确定公交车的调度方案，给出公交车全天的运行时刻发车表，并确定需要的车数，分析乘客和公交公司的满意程度．实际上就是要确定出使得乘客和公交公司都满意的最佳方案．根据题目的意义可知，公交车的调度方案就是始发车站每一次车的发车时刻表，只要发车时刻定下来以后，每一辆车的运行情况就会完全确定下来．
我们关心的是：乘客和公交公司的满意度，就是等候超过正常的等候时间的状况，等候的时间越短满意度越大，或者用超时等候的人数来表现满意度；而对于公交公司来说，关心的主要是车的满载率，他们的满意程度可用公交车的载客率来表示，实际上载客率越高，所用的车数越少，公交公司越满意．
因此，解决问题的关键在于当发车时刻表确定以后，根据已知的各种条件，确定出每一辆车运行过程中，在每一个站上，乘客的等车时间；在每个运行区间上汽车的上座率，根据这样的数据来计算乘客和公交公司的满意程度，并从中选出最好的方案来。

模型假设：
为了计算和分析方便起见，需要对于问题的背景、条件等做出适当的简化、规范，使得我们能够较好地反映出实际的状况，建立起适当的数学模拟形式，能够方便地进行计算和求解。

１、该公交线路是双停车场，晚上公交车集中停放在两个发车场。

２、公交车在路上运行速度正常，不
考虑路上的堵车，以及在各个站上的耽搁时间，２０公里／小时的速度是全天的平均运行速度。

３、乘客到达各个车站的时间分布是均匀的，即假设在局部时间段上，乘客到达每个车站的人数分布密度是均匀的。

４、乘客在每个车站下车的人数，在局部时间段上是均匀的。

符号说明：
１、车站标记：j=1,2,…,n; 共n个车站
２、来客的密度：在时刻t到达j站的
乘客的密度为
３、下车乘客的密度：在时刻t 从车
站j 下车的乘客的密度
４、站间的行车时间：
５、每辆车的载客量：B；载客的上限
６、交通高峰时刻等待时间的上界，
交通的平峰时刻等待时间的上界
７、发车时刻表：
表示第一辆车到达起点站j=1的时刻
表示的是第k辆车驶离起
点站j＝１的时刻，k=1,2,…m
８、第k辆车驶离j站的时
刻记为：
９、第k辆车驶离j站的时侯该车上的
人数，记为：
k=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1
１０、表示从到时段
上的来客数；
表示第k辆车驶到j站时，该站上
等待过h辆车仍然未能上车的乘客数;
表示第k辆车驶到j站时，该站上等待时间
最久的乘客的候车趟数。

显然有
11、：表示第k辆车驶到j站时，
等到该站的乘客下完车以后，车上仍然
留下的乘客数。

１２、表示第k辆车驶到j站后，等到该站的乘客下完后，j站可容纳的上车乘客的人数的上界，显然有：
１３、表示第k辆车驶到第j站后，该车上实际上车的人数
模型建立
模型一一段时间内公交车上下车的乘
客数计算模型
第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站的时间段内，该站上乘客来到的人数为：第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站的时间段内，该站上乘客下车人数为：
模型二第k辆车驶离j站时该车上
的乘客数量
第一步，按照先到先上车的原则，确定在j站的正在等待的乘客中，当第k+1辆车到达车站时，除了能够上车的乘客以外，仍然还要继续等待的车辆数的最大值记为，这个数满足下面的问题
第二步，如果，这表明，此时刻的所有人都可以上车，因此这个时候该车站上，第k 辆车实际新上车的的乘客人数为
第三步，如果，表明此时车站上的所有乘客并不能够都上车，必然要留下一部分人，因此这个时候，新上车的人数就是原来车上尚余的最大的空间，既：，同时显然这个时候，余下的人中第k+1辆车到达车站以后，还没有上车的人中等车趟数的最大值应当是：
并且有递推数量关系：
即这个时候的第k+1辆车到达该站时已等候车数+1的人数，就是刚上了上辆车后，已经上车后剩下的人中原来已经等了辆车的人数，这个数就是，
所以可以计算出关键的数据：第k辆车驶离j站时该车上的乘客数量为：
模型三超时率和载客率的计算模型
◆第k辆车到达j站时，该站上已经等候h趟车的乘客的人数是：
◆他们已经等候的时间是：
◆记交通的高峰时期为，而整个时段为
◆交通高峰时段候车的超时率为
◆交通平峰时段候车的超时率为：
◆满载率低于50%的段数的百分比为
模型四优化模型
为了使得公交公司与乘客都满意，就要保证在所选的方案中，乘客等车时间超过上限的人次数尽量最小；同时也要保证公交公司的车辆的不满50%的段数尽量地小，显然用段数作为计量的单位是必要的，因为人数的变化、车辆的满载状况是在每个段上衡量的。

当然这里并不关心总的等车的时间，而关心的是等车超过上限时间的次数，这也是表现等车的基本的数量信息。

为了构造满意度模型，我们可以用比率模型来表示，而不是用实际等车的时间数来表示。

其中是给定的权重，反映的是对三个目标的重视程度
模型计算
本问题属于无约束最优化问题，可以用诸如数值微分等方法计算。

也可以用离散化的计算方法，根据问题的实际背景，通过仅考虑决策变量的部分特殊的、符合实际的离散化的状态，再从中选择较优的方案。

将上行和下行两个运行方向的运营分开分别计算，求出两个方向各自在一个运行周期中的所有的发车的时间表、发车的次数，求出可能的发车次数以后，再进行配车，将发车次数的计算与车辆的陪给数分开计算是合理和必要的。

只要知道了一天要运行的次数，就能够求出所用的车辆数。

这也是运输问题建模的重要的方法。

可见，较好的方案是：
交通平峰时发车时间间隔为５分钟；而早交通高峰时发车的时间间隔为２分钟，晚交通高峰时的发车间隔时间为３分钟；
需要的车辆数为４４辆车。