高考物理解题方法指导之极值问题

高考物理解题方法指导之极值问题

综述

求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．

多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节． 互动探究

例1、如图所示，重为G 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F 的最小值和方向角θ．

例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20s ，前进了50m ，求这过程中汽车达到的最大速度．

例3、已知直角三角形底边长恒为b ，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短?

例4、如图所示，一个质量为m 的小物块以初速度v 0=10m/s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h 为多大时，小物块飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g 取10m/s 2）

例5、一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

例6、如图所示，已知定值电阻R 1，电源内阻r ，滑动变阻器的最

大阻值为R （R > R 1+r ），当滑动变阻器连入电路的电阻R X 多大时，在变阻器上消耗的功率最大？

例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂直磁场方向放在

例1 例4

E r R 1 R

例6 Q P O

B

例7

磁感应强度为B 的匀强磁场中，圆环总电阻为R ．另有一直导线OP 长为L ，其电阻为R OP ，一端处于圆环圆心，一端与圆环相连接，金属转柄OQ 的电阻为R OQ ，它以n 的转速沿圆环匀速转动，问OP 中电流强度的最小值是多少？

例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场两

极间的电势差为U ，匀强磁场区域的宽度为L ，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不超过

60°），求磁感应强度B 的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？

例9、如图所示，宽为L 的金属导轨置于磁感应强度为B 的匀强

磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E ，内阻为r ，不计其他电阻和

一切摩擦，求开关K 闭合后，金属棒PQ 速度多大时，安培力的功率最大？

最大值是多少？

例10、一个质量为m 的电子与一个静止的质量为M 的原子发生正碰，

碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E 被贮存在这个原子内部．求电子必须具有的最小初动能是多少？

课堂反馈

反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

反馈2、如图所示的电路中，电源的电动势E=12V ，内阻r=0.5Ω，外阻R 1=2Ω，R 2=3Ω，滑动变阻器R 3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?

达标测试

1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L ，若运动中加速度

大小只能是a 或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？

2、某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A 点起跑，到MN 槽线上抱起一个实心球，然后跑到B 点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？

3、一条宽为L 的河流通，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v

L

U

B

120° 例8

E P Q

B K v

r 例9 R 1

R 2 R 3

P a

b V 反馈2

达标2

O

达标4

4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少?

5、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R ，在水平轨道上停着一个质量为M =0.99kg 的木块，一颗质量为m =0.01Kg 的子弹，以v 0=400m/s 的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R 多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？

6、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H 的天空，如果加速度a 和每秒消耗的油量y 之间的关系是y = ka + n （k > 0，n > 0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H 时耗油量最低．

7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E ＝10V ，内阻r ＝1Ω，R o ＝R ＝4Ω，其中R 为滑动变阻器的最大值．当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?

8、如图所示，AB 、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导

轨间的距离为L ，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B ．在导轨的AC 端

连接一个阻值为R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，从静止开始沿导轨下滑．已知ab 与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，求ab 棒的最大速度．

9、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B ，方向竖直向下的

匀强磁场中，现有一个质量为m ，带电量为+q 的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径．

10、如图所示，一束宽为d 的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i ，玻璃对红、蓝光的折射率分别为n 1和n 2，则要想从下底面得到两束单色光，玻璃砖的厚度L 至少为多大？

达标5

M m v 0 R O R

A C a

b

达标8 B D θ

E r R 0 R P

a b

A 达标7

B θ θ

达标9

达标10