计量经济学：时间序列模型习题与解析资料讲解

第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法

练习题

1、 请描述平稳时间序列的条件。

2、 单整变量的单位根检验为什么从DF 检验发展到ADF 检验？

3、设,10,sin cos ≤≤+=t t t x t θηθξ其中ηξ，是相互独立的正态分布N(0, 2

σ)随机变

量，θ是实数。试证：{10,≤≤t x t }为平稳过程。

4、 用图形及LB Q 法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下：

5、 利用4中数据，用ADF 法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。

6、 利用4中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。

7、 根据6中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。

8、 用Yule Walker 法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序

列模型估计，并比较估计结果。 9、 有如下AR(2)随机过程： t t t t X X X ε++=--2106.01.0 该过程是否是平稳过程？

10、求MA(3)模型3213.05.08.01---+-++=t t t t t u u u u y 的自协方差和自相关函数。 11、设动态数据,92.0,82.0,74.0,9.0,7.0,8.0654321======x x x x x x ,78.07=x

,84.0,72.0,86.01098===x x x 求样本均值x ，样本方差0ˆγ，样本自协方差1ˆγ、2ˆγ和样

本自相关函数1ˆρ

、2ˆρ。 12、判断如下ARMA 过程是否是平稳过程：

12114.01.07.0----+-=t t t t t x x x εε

13、以t Q 表示粮食产量，t A 表示播种面积，t C 表示化肥施用量，经检验，他们取对数后都是I （1）变量且相互之间存在CI （1，1）关系。同时经过检验并剔除了不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型：

t t t t t t C C A Q Q μααααα+++++=--1432110ln ln ln ln ln

推导误差修正模型的表达式，并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。

14、固定资产存量模型t t t t t I I K K μαααα++++=--132110中，经检验，

)1(~),2(~I I I K t t ，试写出由该ADL 模型导出的误差修正模型的表达式。

参考答案

1、如果时间序列{t X }满足下列条件：

1）均值μ=)(t X E 与时间t 无关的常数； 2）方差2

σ)var(=t X 与时间t 无关的常数；

3）协方差k k t t X X γ=+)cov( 只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。 则称该随机时间序列是平稳的。 2、在使用DF 检验时，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS 法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF 检验无效。另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证DF 检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky 和Fuller 对DF 检验进行了扩充，形成了ADF 检验。

3、E （t x ）=0)(sin )(cos =+ηθξθtE tE

θ

σθθθθσξηθθξηθθηθθξθθθηθξθηθξk t k t t k t tE k t tE k t tE k t tE k t t t k t k t E x x E r t k t k cos ]sin )(sin cos )([cos )(cos )(sin )(sin )(cos )(sin )(sin )(cos )(cos ]}

sin cos )][(sin )(cos {[)(2222=+++=+++++++=++++==+

20)var(σ==r X t

所以{10,≤≤t x t }为平稳过程

4、居民消费总额时间序列图：

10000

20000

30000

40000

50000

78

808284868890929496980002

序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。

居民消费总额时间序列相关图及相关系数、LB Q 统计量：

从图中可以看出，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。滞后12期的

LB Q 统计量计算值为75.18，超过了显著性水平5%时的临界值21.03，因此进一步否定了该

时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。这样，结论是1978~2002年间居民消费总额时间序列是非平稳序列。

5、经过偿试，模型3取了3阶滞后：

321123.078.024.106.014.19585.894----∆+∆-∆+-+-=∆t t t t t X X X X T X

（-1.37） (2.17) (-1.68) (5.17 ) (-2.33) （0.94） DW 值为2.03，可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。

从1-t X 的参数值看，其t 统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，由于时间T 的t 统计量也小于ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2 。

经试验，模型2中滞后项取3阶：

321130.095.043.101.061.401----∆+∆-∆++=∆t t t t t X X X X X

（1.38） (0.33) (5.84) (-2.62) （1.14）

DW 值为2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从1-t X 的参数值看，其t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，常数项的t 统计量也小于ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。

经试验，模型1中滞后项取3阶：

321135.002.153.101.0----∆+∆-∆+=∆t t t t t X X X X X （0.63） (6.35) (-2.77) (1.29)

DW 值为1.99，残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从1-t X 的参数值看，其t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。

至此，可断定居民消费总额时间序列是非平稳的。

6、利用ADF 检验，经过试算，发现居民消费总额是2阶单整的，适当的检验模型为：

13123471.0854.0--∆+∆-=∆t t t X X X

（-3.87） （2.30）

Correlogram-Q-Statistics 检验证明随机误差项已不存在自相关。从12

-∆t X 的参数值看，

其t 统计量绝对值3.87大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是2阶单整的。 7、居民消费总额经二阶差分后的新序列X2的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如图所示：