第11章 第34课时 锐角三角函数

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注 意：(1)上面ac，bc，ab三个比值的大小与 Rt△ABC 的三边的大小无关，只与 锐角的大小有关，即当锐角 A 取固定值时，它的三个三角函数值也是固定的，且 不可能取负值； (2)sin A 是一个整体，它是三角函数的书写符号，而不是 sin 与 A 的乘积，cos A， tan A 也是如此．
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2．特殊角的三角函数值 函数值：
三角函数
锐角 A
sin A
cos A
tan A
30° 45° 60°
1
23
222
3 21 222
3 3
1
3
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规 律：30°，45°，60°角的正弦值的规律是：分母为 2，分子分别为 1， 2， 3， 即12， 22， 23；它们的余弦值的规律是：分母是 2，分子分别为 3， 2， 1，即 23， 22，12；它们的正切值的规律是：分母是 3，分子分别为( 3)1，( 3)2，( 3)3，即 33， 1， 3.
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中考学练测·数学[GD]
第二部分 第十一章 第34课时
第二部分 图形与几何
第十一章 解直角三角形 第34课时 锐角三角函数
考点管理 归类探究 课时作业
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考点管理
1．锐角三角函数的概念 定 义：如图 34-1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
图 34-1
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AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为
8 3
2
.
图 34-8
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【解析】 ∵BE 平分∠ABD，∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝∠EBD＝30°. ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°. ∴DE＝12BE.
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∵∠BAD＝90°－60°＝30°， ∴∠BAD＝∠ABE. ∴AE＝BE＝2DE. ∴AE＝23AD. 在 Rt△ACD 中，
∴tan
B＝ABCC＝
21 2.
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15．(10 分)计算：
(1)[2018·安顺]－12
＋ 018
3－2＋tan 60°－(π－3.14)0＋12－2；
(2)[2018·南充] 1－ 22－1－ 220＋sin 45°＋12－1.
解：(1)原式＝－1＋2－ 3＋ 3－1＋4＝4. (2)原式＝ 2－1－1＋ 22＋2＝32 2.
4 A.3
B．34
3 C.5
D．45
图342
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[2019·金华]如图 34-3，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB＝m，∠BAC＝α，
则下列结论错误的是( C )
A．∠BDC＝α
B．BC＝m·tan α
C．AO＝2smin α
D．BD＝coms α
图 34-3
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(2)同角关系的主要作用是已知锐角的某个三角函数值去求这个锐角其他的三角函 数值，同时常用来求证某些有关的数量关系．
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归类探究
考点 1 锐角三角函数的概念
[2019·宜昌]如图 34-2，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin∠BAC 的值为( D )
的圆心 O 在格点上，则∠BED 的正切值等于( D )
25 A. 5
B．－2 5 5
C．2
D．12
图 34-3
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【解析】 在 Rt△ABC 中，AB＝2，BC＝1， ∴tan∠BAC＝BACB＝12. ∵∠BED＝∠BAD， ∴tan∠BED＝12.故选 D.
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5．[2018·宜昌]如图 34-4，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边
这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端 B 外移到 D，则梯子顶端 A 下移到 C，这 时又测得∠CDO＝50°，那么 AC 的长度约为 1.02 米．(sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)
图344
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1．[2019·湘西]如图 34-5，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，AB 的垂直平分线
第 16 题答图
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17．(10 分)[2018·自贡]如图 34-12，在△ABC 中，BC＝12，tan A＝34，∠B＝30°， 求 AC 和 AB 的长．
图 34-12
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解：如答图所示，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D.
在 Rt△BCD 中，
∠B＝30°，BC＝12，
图 34-9
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三、解答题(共 25 分) 14．(5 分)如图 34-10，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，sin A＝25，求 BC 的长和 tan B 的值．
图 34-10
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解：∵sin A＝BACB＝25，AB＝10， ∴BC＝25AB＝25×10＝4. ∴AC＝ AB2－BC2＝2 21.
⊙A 优弧上的一点，则 tan∠OBC＝( D )
1 A.3
B．2 2
22 C. 3
D．
2 4
图 34-6
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二、填空题(每题 4 分，共 24 分) 4
8．[2019·雅安]在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则 sin A＝ 5 . 9．[2018·莱芜]计算：(π－3.14)0＋2cos 60°＝ 2 .
∠D＝30°，则 tan∠ABC 的值为( C )
1 A.2
B．
3 2
C． 3
D．
3 3
图 34-5
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【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠A＝∠D＝30°，∴∠ABC＝60°. ∴tan∠ABC＝tan 60°＝ 3. 故选 C.
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7．[2019·安顺]如图 34-6，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C(0,2)，B 是 y 轴左侧
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【点悟】 一般地，已知一个锐角三角函数的值，求同角或余角的另一个三角函 数值，根据三角函数的定义和勾股定理，用一个字母表示直角三角形的三边长即 可求出所有三角函数值．
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考点 2 特殊角的三角函数值
3
1
[2019·甘肃]在△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 3 ，则 cos B＝ 2 .
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4．锐角三角函数间的关系
互余关系：(1)sin A＝cos (90°－A)；
(2)cos A＝sin (90°－A)．
同角关系：(1)sin 2A＋cos 2A＝1；
(2)tan
A＝csions
A A.
规 律：(1)互余关系的主要作用是改变锐角三角函数的名称，把不同名的三角
函数化为同名的三角函数；
A．300sin α 米
B．300cos α 米
C．300tan α 米
D．ta3n00α 米
图 34-2
【解析】 ∵sin α＝BACB，∴BC＝AB·sin α＝300sin α(米)．故选 A.
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4．[2018·日照]如图 34-3，在边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O
EF 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cos∠BDC＝57，则 BC 的长是( D )
A．10
B．8
C．4 3
D．2 6
图 34-5
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2．[2019·苏州]如图 34-6，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD
竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3 m 的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m，测
10．[2018·湖州]如图 34-7，已知四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点
O.若 tan∠BAC＝13，AC＝6，则 BD 的长是 2 .
图347
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【解析】 ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴AB⊥CD. ∵tan∠BAC＝13， ∴BAOO＝13. ∵AC＝6，∴AO＝3. ∴BO＝1.∴BD＝2BO＝2.
∴CD＝BC·sin B＝12×12＝6， BD＝BC·cos B＝12× 23＝6 3.
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∵sin C＝AADC， ∴AD＝AC·sin C＝8× 22＝4 2. ∴AE＝23AD＝23×4 2＝83 2.
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13．[2019·张家界]如图 34-9，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点，连接 AE，BF 交于点 P，连接 PD，则 tan∠APD＝ 2 .
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11．[2018·青海]在△ABC
中，若sin
A－12＋cos
B－122＝0，则∠C
的度数是
90°
.
【解析】
∵sin
A－12＋cos
B－122＝0，
∴sin A＝12，cos B＝12.
∴∠A＝30°，∠B＝60°.
∴∠C＝180°－30°－60°＝90°.
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12．[2018·陕西改编]如图 34-8，在△ABC 中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
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3．锐角三角函数值的变化规律 规 律：(1)当∠A 为锐角时，0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0； (2)一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦值随着 角度的增大而减小； (3)对于非特殊角的三角函数值，可利用计算器求得；反之，已知锐角的某种三角 函数值，也可以利用计算器求出此锐角的度数．
取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC＝100 m，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于
(C )
A．100sin 35°m
B．100sin 55°m
C．100tan 35°m D．100tan 55°m
图 34-4
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6．[2018·葫芦岛]如图 34-5，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上 AB 两侧的点．若
得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30°，则教学楼的高度是( C )
A．55.5 m
B．54 m
C．19.5 m
D．18 m
图 34-6
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课时作业
一、选择题(每题 3 分，共 21 分)
1．[2018·柳州]如图 34-1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则
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1．[2019·怀化]已知∠α 为锐角，且 sin α＝12，则∠α＝( A )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．[2019·随州]计算：(π－2019)0－2cos 60°＝ 0 .
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考点 3 解直角三角形 [2019·德州]如图 34-4，一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，
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(2)如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， ∵tan B＝34，可设 DE＝3y(y＞0)，则 BE＝4y， ∵DE2＋BE2＝BD2， ∴(3y)2＋(4y)2＝12， 解得 y＝15， ∴DE＝35，
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3
∴sin α＝DADE＝
5 32
＝5 1 2＝ 102.
sin B 的值为( A )
3 A.5
B．45
3 C.7
D．34
图341
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2．[2018·大庆]2cos 60°的值为( A )
A．1
B． 3
C． 2
D．12
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3．[2018·益阳]如图 34-2，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 α 的山坡向上走了 300 米
到达 B 点，则小刚上升的高度为( A )
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16．(10 分)[2019·梧州]如图 34-11，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点， AB＝5，BD＝1，tan B＝34. (1)求 AD 的长； (2)求 sin α 的值．
图 34-11
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解：(1)∵tan B＝34，可设 AC＝3x(x＞0)，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4， ∵BD＝1， ∴CD＝3， ∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2.
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(1)锐角 A 的 对边与斜边 ∠A斜的边对边＝ac； (2)锐角 A 的 邻边与斜边 ∠A斜的边邻边＝bc；
的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即 sin A＝ 的比叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A＝
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(3)锐角 A 的 对边与邻边 的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即 tan A ＝∠∠AA的的对邻边边＝ab； (4)锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的 锐角三角函数 ．