三角函数的诱导公式.ppt

任意负角的 三角函数
用公式三或一 任意正角的 三角函数
用公式一
0o到360o的角 用公式
的三角函数 二或四
锐角三 角函数
例3 填写下表
2 4 5 7
33 3
33
sin 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
cos 1 1 1 1 1
22
2 22
练习反馈
（1）已知
，求tan 9 的值．
（2）已知 cos 3 ，求 cos 5 的值．
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
例4
证明：
（1） sin(3 ) cos
2
（2） cos(3 ) sin
2
1、已知cos(75o ) 1，其中是第三象限角，
公式二：
sin sin
cos cos tan tan
y
T
P（x,y）
r
M
r OM
Ax
P’(-x,-y)
我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系， 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点Px，y，
角 的终边与单位圆相交于点 P，这两个角的终边关于
x 轴对称，所以 Px， y ．
2
2
函数名改变，符号看象限
（将α看成锐角）
综上：奇变偶不变，符号看象限
求sinθ,cosθ,tanθ时，把θ化成θ=k·π/2+α,则
k为奇数时,函数名改变,k为偶数时函数名不变；
符号由将α看成锐角时，θ所在象限的原来函数决定。
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：k （k Z）的三角函数值
（将α看成锐角）
诱导公式三：
sin( ) sin , sin(2 ) sin , cos( ) cos , cos(2 ) cos , tan( ) tan . tan(2 ) tan .
诱导公式 三： 诱导公式 四：
sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan.
3
求cos(105o ) sin( 105o)的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
1、分析：分析被求式与已知式的角度情况，关键是寻求到 750 与1050 之间
的关系。由 750 1050 1800 ，则有关系式1050 1800 750 ，
一、复习：
1.三角函数的定义
α的终边
P(x,y)
y
y rα
y α的终边
P(x,y)
ry α
M x O x O xM x
Mα y
y
x r
O
x
y O xM
α
y
x
α的终边 P(x,y)
r
P(x,y)
α的终边
sin y
r
cos x
r
tan y
x r2 x2 y2
复习：
2.三角函数值在各象限的符号：
设 0 90，对于任意一个0 到360 的角 ，
以下四种情形中有且仅有一种成立．
，
180 180
， ，
360 ，
当 0，90 当 90，180 当 180，270 当 270，360
二、诱导公式的推导过程
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 Px，y ，
x 请同学们思考回答:点P 关于 轴、y 轴、原点对称的
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
概括如下： k 2 o k Z ， ， ，
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，
简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
正弦上为正，余弦右为正 正切余切一三正，其余为负不为正
（一全二正弦，三切四余弦）
3.三角函数线
能否把 任意角的三角
函数求值，化为我们熟悉
的 0～360间的角的三角
函数求值问题呢？
诱导公式 一：
sin( 2k ) sin(k Z ), cos( 2k ) cos(k Z ), tan( 2k ) tan(k Z ).
例题讲解
例1 求下列三角函数值：
（1） sin 225； （2）cos 1290 ； （3） cos 2040 ；（4）sin 16 ．
3
例2 化简：
cosπ sin 2π sin π cosπ
．
总结：利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数,一般按下面步骤进行:
6 3
6
公式五：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan(
)
cot
2
诱导公式五：
诱导公式六：
sin(
2
cos(
) cos , ) sin .
sin(
2
cos(
) cos , ) sin .
三个点的坐标间的关系．
点Px，y 关于x 轴对称点P1x， y ，关于y 轴对称
点 P2 x，y，关于原点对称点 P3 x， y ．
我们来研究角α与π+α的三角函数值之间的关系， 如图，利用单位圆作出任意角α与单位圆相交于点
Px，y ,角 π+α 的终边与单位圆相交于点 P， 这
两个角的终边关于x轴对称，所以P x， y
公式三：
sin sin
cos cos
tan tan
y
TP(x,y)rOMrAx
P’（x,-y）
T
公式四：
sin sin
cos cos
诱导公式 一：
sin( 2k ) sin(k Z ), cos( 2k ) cos(k Z ),
函数名不变， 符号看象限
ta诱n(导公2k式) t二an：(k Z ).
能否再把0～360间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的0 ～ 90 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过求锐角三角函数 方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
若 00，900 ， 00，3600 ，则可怎样用
含的式子来表示？
∵ cos 750 1 0 ，又 为第三象限角，可知角 750 为第四象限角， 3
∴ sin 750
1 cos2 750
1
1 3
2
2 2 ， 3
∴ cos 1050 sin 1050 1 2 2 2 2 1 。
33
3
3、化简
sin(2 )cos( )cos( )cos(11 )
故可用诱导公式求解。
解析：分别求 cos 1050 ,sin 1050 的值。
cos 1050
cos 1800
750
cos 750
1， 3
sin 1050 sin 1050 sin 1800 750 sin 750 。
2
2
cos( )sin(3 )sin( )sin(9 )
2
小结
诱导公式
2k
"偶" 2
不
"奇 "
2
3
2
变变
n
n为2 偶数
符号看"象限"
n
n为2 奇数