湍流理论发展概述

湍流理论发展概述
一、湍流模型的研究背景
自然环境和工程装置中的流动常常是湍流流动，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。

对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统计理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，这就给理论分析带来了极大地困难。

这也就引发了对湍流过程进行模拟的想法。

对湍流最根本的模拟方法是在湍流尺度的网格尺寸内求解瞬态的三维N-S 方程的全模拟方法，此时无需引进任何模型。

然而由于计算方法及计算机运算水平的限制，该种方法不易实现。

另一种要求稍低的方法是亚网格尺寸度模拟即大涡模拟（LES），也是由N-S方程出发，其网格尺寸比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节，但由于计算量仍然很大，只能模拟一些简单的情况，直接应用于实际的工程问题也存在很多问题[1]。

目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS），而模拟的前提是建立合适的湍流模型。

所谓的湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。

目前常用的湍流模型可根据所采用的微分方程数进行分类为：零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方程模型等。

对于简单流动而言，一般随着方程数的增多，精度也越高，计算量也越大、收敛性也越差。

但是，对于复杂的湍流运动，则不一定。

湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。

这里所说的微分方程是指除了时均N-S 方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。

二、基本湍流模型
常用的湍流模型有：
零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax 给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e模型，以及k-omega模型。

下面仅针对有代表性的模型进行论述：
1、零方程模型
上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl 的混合长度理论、Taylor 的涡量输运理论、von Karman 的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。

零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为另方程模型：
''m u u v y
ρρε∂-=∂ 其中m ε称为涡粘系数，他与分子的运动粘性系数ν有相同的量级。

对于一般的三
维的情况，上式可写为：
''
223
i j m ij ij u v S K ρεδ-=- K 为单位质量的湍流脉动动能。

为了发展上述方法，需要建立m ε与平均速度之间的关系。

1925年，普朗特沿这一方向做了重要工作，提出可混合长度理论，混合长度理论认为，存在这样的长度l ,在此长度内流体质点运动是自由的（不与其他质点相遇），我们把这样的l 称为混合长度[2]。

由于湍流漩涡的作用，流体微团就爱那个上下跳动，由于微团的流向速度不会立即改变，到达新位置后他会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度'10()()u U y U y ≈-，显然，此速度差取决于当地的平均速度梯度U y ∂∂与微团沿y 向跳动的距离l ,即：
'U u l y
∂≈∂ 此l 称为混合长度，他表示这样的距离，在此距离内微团沿y 向跳动时基本不丧失其原有速度。

实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级，因此有：
'U v l y
∂≈∂ 所以有：
''2
u u u v l y y
ρρ∂∂-=∂∂ 由此可算出涡粘性系数为： 2m u l y
ε∂=∂
由此可见，若假设l不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例，这与实验结果是一致的。

混合长度理论已成功的用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。

目前应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax模型[3]，该模型对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。

事实上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2,、一方程模型
单方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，其中B-B模型和S-A模型是单方程模型中的优秀代表。

特别是S-A 模型，从经验和量纲分析出发得出了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和计算准确性，目前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。

S-A湍流模型是个一方程模型。

它常被认为是B-L代数模型和两方程模型之间的桥梁。

由于其容错功能好，处理复杂流动的能力强，S-A模型已得到广泛应用。

S-A模型与B-L模型相比，其湍流涡粘场是连续的。

S-A模型优于模型之处在于其容错性好，计算量少。

该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。

方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。

S-A模型不同于其他一些单方程模型，不是从方程经过简化得到的，而是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。

该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好，同时又有较高的精度。

由于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。

另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在内，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。

3、两方程模型
上世纪70年代，Launder发展的k-ε模型被称为标准k-ε模型，它求解湍流动能k及湍流动能耗散率ε的输运方程，能够反映一定的湍流物理量的输运特性，是两方程湍流模型的先驱性工作。

之后研究人员又发展了重整化群k-ε (RNG k-ε)模型、可实现性k-ε模型等，进一步强化k-ε系列模型的计算性能。

另外一个系列的两方程模型为-
kω模型系列，其中比较有代表性的有标准-kω模型和SST-
kω模型。

一般来说，k-ε模型对高Re数充分发展的湍流模拟结果较好，而-
kω模型改进了k-ε模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流
模拟精度较高。

k-ε模型
在湍流模型的发展过程中逐渐形成了零方程模型、一方程模型和两方程模型，由于使用的局限性零方程模型和一方程模型很难应用于工程实际。

目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型是k-ε模型，即分别引入关于湍动能k 和耗散率ε的方程：
()()()e k k b k k k k
k k u k G G t x x x μρρρεσ∂∂∂∂+=++-∂∂∂∂ 12()()()()e k k k k k k u c G c t x x x k
εμρεερερεσ∂∂∂∂+=+-∂∂∂∂ 式中：
222[2()2()()]k t u v u v G x y y x
μ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()t t b x y t t T T G g g x y
μμβρσσ∂∂=-+∂∂ e t μμμ=+ 2
t k C μμρ
ε=
模型中各通用常数据计算经验可取为：
120.09, 1.44, 1.92,1, 1.3k C c c εμσσ===== 标准K-ε模型特性[4]：
可用于边界层型流动和分离流；近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件；属于涡粘模型；ε方程模化不确定因素多，可靠性差；模型常数通用性差；不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）；不能计入涡量的影响。

除此之外还有各种改进的k ε-模型，比较著名的是RNG k ε-模型和带旋流修正的k ε-模型。

k-ω模型
标准-k ω模型是基于Wilcox -k ω模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。

Wilcox -k ω模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。

标准k ε-模型的一个变形是SST -k ω模型。

SST -k ω模型由Menter 发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于-k ω模
型，使得在近壁自由流中-k ω模型有广泛的应用范围和精度。

为了达到此日的，-k ε模型变成了-k ω公式。

SST -k ω模型和标准-k ω模型相似，但有以下改进：
（1）SST -k ω模型是由标准的-k ω模型和变形的-k ε模型分别乘上一个混合函数相加得到的，在近壁面混合函数将为1，此时启用标准-k ω模型，在远壁面，混合函数将为0，此时启用变形的-k ε模型。

（2）SST -k ω模型合并了来源于方程中的交叉扩散。

（3）湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。

（4）模型常量不同。

这些改进使得SST -k ω模型比标准-k ω模型在在广泛的流动中有更高的精度和可信性。

由Fluent 提供的SST -k ω模型更适合对流减压区的计算。

另外它还考虑了正交发散项从而使方程在近壁面和远壁面都适合。

SST -k ω模型[5]：
k ()()()i k k i j j
k k ku G Y t x x x ρρ∂∂∂∂+=Γ+-∂∂∂∂ ()()()i i j j
u G Y D t x x x ωωωωωρωρω∂∂∂∂+=Γ+-+∂∂∂∂
式中：k G ——由层流速度梯度而产生的湍流动能；
k ωΓΓ和——K 和ω的扩散率；
k ωΓΓ和——K 和ω的扩散率；
k Y Y ω和—— K 和ω的发散项；
D ω——正交发散项。

4、其他模型
其他形式的湍流模型涡粘系数输运（SA ）模型(3方程)，雷诺应力模型（2阶矩模型）、雷诺应力模型方程（7方程模型）。

一阶矩模型在工程湍流计算中获得了很大的成功，但它们存在一些本质上 的缺陷，即这些模型均是基于Boussinesq 线性各向同性的假设，导致雷诺正应力在三个方向上的分量相等，这与很多实际的湍流流动矛盾。

因此，一阶矩模型对强逆压梯度下的流动、强分离流动、二次流、存在旋转和曲率效应的复杂湍流等预测精度较差，需要进行相应的修正。

二阶矩模型，即雷诺应力输运模型，通过求解雷诺应力各个分量的输运方 程来封闭雷诺应力项，可以考虑湍流的各向异性及历史效应，理论上具有一阶 矩所不能及的模拟复杂流动的能力。

我国周培源教授首次建立了雷诺应力的输 运方程组，1951年Rotta 在这个基础上发展了完整的雷诺应力模型。

他们的工
作是最早的奠基性工作。

Launder、Reece和Rodi对二阶矩模型进行了标定，建立了著名的LRR二阶矩封闭模型。

后来很多研究者又提出了多种形式的二阶矩模型。

不同二阶矩模型之间的区别在于扩散性、压力．应变率关联项和耗散项的具体模化形式，其中最关键的是压力。

应变率关联项的模化，但到目前为止对这一项的模化还是不成熟。

尽管二阶矩模型模拟复杂湍流流动理论上具有较大的优势，但它需要求解6个雷诺应力的强非线性方程及附加的湍流动能耗散率的方程，鲁棒性较差，计算量较大，而且实际流场中的计算精度并不不尽如意，因此在很大程度上限制了二阶矩模型在工程中的应用。

后来Rodi提出把雷诺应力输运方程简化为代数应力模型(Algebraic Stress Model，ASM)的思想。

假设雷诺应力的输运正比于湍流动能k的输运，带入压力．应变率关联项和湍流动能耗散率的模型，从而得到代数应力模型。

ASM模型不考虑雷诺应力的时间和空间导数，比较合理地对二阶矩模型进行了简化。

介于一般意义上的一阶矩和二阶矩模型之间，另外重要的一类湍流模型即为非线性涡粘性湍流模型。

尽管它的推导过程与代数应力模型不同，但在表达形式上完全相同。

Pope指出虽然非线性涡粘性模型和代数应力模型在推导时所基于的出发点不同，但他们在数学上是等价的。

非线性涡粘湍流模型的基本思想是改进BouSsincsq假设的线性应力．应变本构关系，采用非线性的多阶表达式。

早在20世纪70年代，Lumley和Pope就已经给出雷诺应力的通用非线性表达形式。

非线性模型的二阶项可以反映雷诺应力的各向异性，三阶项可以反映流线弯曲及旋转效应等。

三、各种湍流模型的特点
各类模型基于粗略的假设、类比、量纲分析，无可靠物理基础，需引进经验系数[6]。

1、
0方程模型不能反映输运效应，计算量最小，一般适用于边界层型流动，引进各种修正可扩大适用范围；
2、K方程模型特征长度不易确定，应用较少；
3、ε方程模化不确定因素多，可靠性差；
4、标准K－ε模型近壁需修正, 且不能模拟二次流；
5、非线性K－ε模型能反映各向异性，璧面ε的仍有奇异；
6、涡粘模型不能反应各向异性和松弛效应；
7、二阶矩模型适用范围较广，计算量较大，模型常数的通用性仍差；
8、SA（3）模型近壁无奇异性，可模拟流场变化较剧烈和曲率较大湍流，但仍
具有涡粘模型特点。

多数模型不能完全满足真实性条件，需要改进。

脉动结构信息多的模型，应用面较广，但模拟的对象愈多，不确定的因素就愈多，计算量愈大。

现在还没有一个模型能满意预测所有湍流，所以，选模型时应综合考虑流动类型、计算量与精度等因素。

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参考文献
[1] 周力行.湍流两相流动与燃烧的数值模拟[M].北京：清华大学出版社，1991：
9~28。

[2] 潘文全.工程流体力学[M].北京：清华大学出版社，1987：140。

[3] B．Baldwin，H．Lomax．Thin layer approximation and algebraic model
for separated turbulent 78-257，l 978．
[4]~[5] Fluent 帮助文件及参考资料。

[6] 粘性流体力学，北京航空航天大学：10~33,2010。