变系数常微分方程本征问题

四. 降阶法
• 1.d’Alembert 降阶法 设已知一个特解（用观察法）y1,用变换 y=uy1 可以把原方程化为关于 u 的一阶线 性方程。 • 2.利用算子因式分解降阶
END
1. 求解二阶线性常微分方程 的 重要性
这些方程 是物理学与科学技术最常见的，有直接应 用； 是解高阶线性常微分方程的基础； 是解数学物理方程和学习后继课程的基础。
例１. 将Ｅuler型方程 (a,b为常数) 常系数化
2 d y dy 2 x 2 ax by 0 dx dx
解: 将方程化为标准型(５.１—１) a b P ,Q 2 x x c2 c2 Q 1 a 1 c1 P Q 2Q b
b dx 取 c2 b, c1 a 1, t ln x c2 x d2y dy a 1 by 0 2 dt dt
' '
"
1.通过自变量的变换使方程的系
数化为常数
如
c1 , q1 q 2 c2 , p1 p 則1 t c2 q' (p ) c1 , q 2q
q 1 dx ( x), c2
c2 y 0。 y c1 y
2. 困难
• 最一般的二阶变系数线性常微分方程 非常难解，至今没有一般的方法。
3. 解决问题的途径
• 一阶线性常微分方程总是可解的; 降阶法——化二阶为一阶. • 二阶常系数线性常微分方程总是可解的; 常系数化法——化变系数为常系数. 如：著名的Euler方程及其它一些方程。 • 但是，都没有解决哪些方程可以常系数 化，用什么变换，怎么找到这个变换，变 换成什么样的常系数方程，以便迅速求解。
2.通过未知函数的齐次线性变换使 方程的系数化为常数
2
q2 q p d2 ,
p2 p
d1 ,
1 1 2 2 q p p c, 2 4 y ( x )u( x ), ( x ) e u d1u d 2u 0, d d2 2 , 4
2 例.2. 将μ 阶Ｂessel方程 1 y y 1 2 y 0 ( μ为常数)常系数化. x x
解: 根据判别式
1 2 p ,Q 1 2 ， x x
1 dP 1 2 2 Q P 2 dx 4 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 x 2 x 4 x x 4x
1. 方程（5。1——1）对自变 量的任意变换的保线性性
x (t ),
方程（5。1——1）化为
y p1 (t ) y q （t ) y 0, 1 2 , p1 p , q1 q
" '
2. 方程（5。1——1）对未知函数 的线性变换的保线性性
2 1 1 ( d1 p ) dx 2
,
y ( x) ( x)u ( x) ( x),
' " 1 " ' u (p )u (q p )u (q p ' " ) 0
2 '
若β=0，上式化为 " ' u p2 u q2 u 0,
p2 p 2 , q2 q p
y p( x) y q( x) y 0
（5。1——1）
• 1. 方程（5。1——1）对自变量的任意变换 的保线性性 • 2. 方程（5。1——1）对未知函数的线性变 换的保线性性
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三.常系数化法
1.通过自变量的变换使方程的系数化 为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方 程的系数化为常数
§5.1变系数二阶线性齐次常微 分方程的特殊解法
• • • • 一.引言 二.线性常微分方程的变换性质 三.常系数化法 四.降阶法
一.引言
• 1. 求解二阶线性常微分方程的重要性 • 2. 困难 • 3. 解决问题的途径
二. 线性常微分方程的变换性质
• 设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方 程为
若
1 1 , 則 2 1，因此，對于 階Bessel方程, 2 2
可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在 (5.1-12)中取
( x) e
1 2
d 1 dx
e
1 ln x 2

1 x
(取d 1 0)
1 1 1 阶Bessel方程y y 1 y 0. 2 2 x 4x 1 经变换y u ( x )化为常系数方程 x 2 d u u ( x) 0 2 dx u ( x ) e1 cos x e2 sin x e1, e2为常数 y e1 cos x x e2 sin x x