分离过程-三对角线矩阵法

图5-2 普通N级逆流装置
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
Aj xi, j 1 B j xi, j C j xi, j 1 D j
j 1 j 2 j j j N 1 j N B1 xi ,1 C1 xi , 2 D1 A j xi , j 1 B j xi , j C j xi , j 1 D j AN 1 xi , N 2 BN 1 xi , N 1 C N 1 xi , N DN 1 AN xi , N 1 BN xi , N DN
j 1 V j Fm Gm U m V1 h j 1 V j 1 H j 1 F j H Fj m 1 j V j 1 Fm Gm U m V1 U j h j V j G j H j Q j m 1
j h j 1 H j j H j 1 h j
5 37 5 38
j 1 j Fm Gm U m V1 h j h j 1 m F j h j H Fj G j H j h j Q j 5 39
x
i ,0
不存在
A2 xi ,1 B2 xi , 2 C2 xi ,3 D2
（5-18a）
x
i , N 1
不存在
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩阵方 程的托玛斯解法
三对角线距阵方程:
B1 A2 C1 B2 ... C2 ... Aj Bj ... Cj ... AN 1 BN 1 C N 1 AN BN xi1 xi 2 D1 D2
在假定了各级温度Tj和气相流率Vj，并根据具体 情况计算出平衡常数K后，式（5-23）即可以成为求 解液相组成的线性方程组（修正—M方程），用托 玛斯解法可简便求解。
托玛斯解法原则：下对角线上元素变为0，主对
角线上变为1，相应变化其他元素的形式，解得x。
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
托玛斯解法步骤
对第1级 解得 令 则 B1 xi ,1 C1 xi , 2 D1 xi ,1 D1 C1 xi , 2 B1 B1 和q1 D1 B1
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1 也就是第一行乘以 B1
p1 C1
xi ,1 q1 p1 xi , 2
5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩阵方 程的托玛斯解法
Lj
将上式展开整理得：
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5.3.2 泡点法（BP法）
j 1 h j 1 H j V j H j 1 h j V j 1 Fm Gm U m V1 m 1 h j h j 1 Fj h j H Fj G j H j h j Q j 令
塔底温度：取釜液的泡点温度。
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5.3.2 泡点法（BP法）
3. 相平衡常数Ki,j的计算
⑴ 如果Ki,j=（T,P）时，根据各级温度和压力计算。 ⑵ 如果Ki,j=（T,P,xi,j,yi,j）时，在第一次迭代中用假 设为理想溶液的相平衡常数，在后面的迭代计算 中再把组成考虑进去。
4. xi,j的归一化
m 1
j
（5-17）
3
5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
L j V j 1 ( Fm Gm U m ) V1
m 1 j
Lj 1xi, j 1 Vj 1Ki, j 1xi, j 1 Fj zi, j Lj U j xi, j Vj G j Ki, j xi, j 0
7. 汽相流率 Vj的计算
因为F1,V1,U1,L1已经确定，可用（5-17）式计算V2。
L j V j 1 Fm Gm U m V1
m 1
j
5 17 5 32
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V2 L1 ( F1 U1 ) V1
5.3.2 泡点法（BP法）
为使用 H 方程计算各板的气相流率 Vj ，分别对 Lj-1,Lj 写出式（ 5-17 ）并代入 H 方程（ 5-5 ），得到修 正的H方程： Lj-1
程的严格计算方法，它以方程解离法为基础，将MESH方
程按类型分为三组，既 修正 —M 方程、 S— 方程和 H— 方
程，然后分别求解。
它适合分离过程的操作型问题计算，具有容易程序化、
计算速度快和占用内存少的优点。
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
一、方程的解离
将相平衡方程（5-2）代入到物料平衡方程（5-1）：
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5.3.2 泡点法（BP法）
在三对角矩阵的建立过程中，用相平衡方程修正M方 程，取代了 M 方程中所有的 yi,j ，因此，三对角矩阵解出 的是液相组成 xi,j ，用泡点方程计算各级温度是特别有效 的，故这种典型的三对角矩阵法为泡点法。 在泡点法计算中，利用修正M-方程计算液相组成；利 用 S- 方程 在 内层循环 中计算 各级温度 ；利用 H- 方程 在 外 层循环中计算气相流率。(P96) 泡点法适合：组分的 相平衡常数变化不大 的物系（窄沸 程）（泡点方程计算新的级间温度特别有效）。 一般用于操作型的设计计算中。
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5.3.2 泡点法（BP法）
2. 初值的给定：
⑴ Vj: 用指定回流比、馏出量、进料量、侧线采出 量，按恒摩尔流假设给出一组Vj的初值。
⑵ Tj: 可根据塔顶底温度的线性内插给定。 塔顶温度：①当塔顶为气相采出时，可取气相产品的露点温度；
②当塔顶为液相采出时，可取馏出液的泡点温度； ③当塔顶为气、液两相采出时，可取泡、露点温度之 间的某个值。
1 p1 1 xi1 xi 2 1 pj 1 p N 1 1 q1 q2
p2

xi , j q j （5-29） xi , N 1 q N 1 xi , N qN
这就是三对角线方程的托玛斯解矩阵方程， 利用逐级回代可以计算出各级的液相组成。 11
5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩阵方 程的托玛斯解法
由于在推导三对角线矩阵时没有考虑 S方程的 约束，故在求解各级温度时必须利用下式对组成 进行归一化处理： c
xi , j xi , j
x 5 30
i 1 i, j
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5.3.2 泡点法（BP法）
5. 用E方程计算汽相组成 yi,j值
yi , j Ki , j xi , j
6. 根据各级yi,j,xi,j,Tj,Pj值计算气、液相摩尔焓
1 也就是第一行乘以 B1
P1=C1/B1
xi , j D j xi , N 1 DN 1 xi , N DN
A2 第二行：第一行乘以 B 1
（5-23）
与第二行相加，即：A2=0, B2= B2 A2 P 1 1 然后乘以 B A P 2 2 1
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
将式（5-17）代入式（5-16）整理后得：
Aj xi, j 1 B j xi, j C j xi, j 1 D j （5-18）
其中：
A j V j Fm U m Gm V1
m 1 j j 1
2 j N 1 j N
4
B j [V j 1 Fm U m Gm V1 U j V j G j K i , j ]
对第2级 解得 其中
对第j级 其中 对第N级 则
A2 xi ,1 B2 xi , 2 C2 xi ,3 D2 xi , 2 q2 p2 xi ,3
C2 D2 p2 和q 2 B2 A2 p1 B2 A2 p1
xi , j q j p j xi , j 1 pj Cj B j A j p j 1 和q j
托玛斯解矩阵方程组（省去下标i）：
x1 p1 x2 q1 x p x q 2 3 2 2 x3 p3 x4 q3 x4 p4 x5 q4 xN 1 p N 1 xN q N 1 xN qN
回代求解组成xi , j xN qN x j q j p j x j 1 1 j N 1
当j 2时， 2V2 2V3 2 则有： 同理：
2 2V2 V3 2 3 3V3 V4 3

5 - 41 5 - 42 5 - 43
第二行：第一行乘以 与第二行相加，即：A2=0, B2= B2 A2 P 1 A2 q1Biblioteka Baidu然后乘以 1 B2 A2 P 1

A2 B1
D j A j q j 1 B j A j p j 1
pN 0 xi , N q N
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5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩阵方 程的托玛斯解法
代入到焓平衡式得： jV j jV j 1 j
5 36
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5.3.2 泡点法（BP法）
L j V j 1 Fm Gm U m V1
m 1 j
5 17 5 32
V2 L1 ( F1 U1 ) V1
由（5-36）解得气相流率：
no 是否满足迭代收敛准则 yes
结束
＊BP法计算框图＊
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5.3.2 泡点法（BP法）
1. 设计变量的规定：
① 各级的进料流率、组成、温度和压力； ② 各级的压力； ③ 各级的汽、液相侧线采出流率； ④ 除第一极和第N级之外各级的热负荷（注： 加热取正号，冷却取负号）； ⑤ 总级数； ⑥ 泡点温度下的回流量(L1)和塔顶气相馏出物 流率(V1)。
第五章 多组分多级分离的严格计算
5.1 平衡级的理论模型 5.2 逐级计算法 5.3 三对角线矩阵法

5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩阵方程的 托玛斯解法 5.3.2 泡点法（BP法） 5.3.3 流率加和法（SR法）
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5.3 三对角线矩阵法
三对角线距阵法 是最常用的多组分多级分离过
Lj 1xi, j 1 Vj 1Ki, j 1xi, j 1 Fj zi, j Lj U j xi, j Vj G j Ki, j xi, j 0
（5-16）
为了消去式中的L，对逆流装置第1级到 第j级之间作总物料衡算：
L j V j 1 ( Fm Gm U m ) V1
m 1
C j V j 1 K i , j 1 D j F j zi , j
1 j N 1 1 j N
5.3.1 方程的解离方法和三对角线矩 阵方程的托玛斯解法
由图5-2可知：
当j=1时，由于xi,j-1即xi,0 不存在 （无L0流股），此时，式（5-18） 的第一项不存在。 当j=N时，由于Vi,j+1即Vi,N+1 不存在， 此时，式（5-18）没有第三项。 因模型中无G1和UN两股物流，所 以在式（5-19）和式（5-20）中做零 处理。则对组分i从第一级到第N级可 将式（5-18）具体化为：
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开 始 规定设计变量 设定Tj、Vj初值 解三对角线矩阵方程，求xi,j 归一化xi,j 调整Tj和Vj 泡点计算，求新的Tj，yj
规定： 进料：Fj,zi,j,TFj,PFj 压力：Pj 侧采：Uj,Gj 热负荷：Qj（除Q1和QN） 级数：N 回流量：L1 气相馏出量：V1
计算冷凝器和再沸器的热负荷（Q1和QN） H-eq.式（5-36）计算新的Vj ； M-eq.式（5-17）计算Lj