第七章 互换的定价及风险分析

二、运用债券组合为货币互换定价
定义 V互换：货币互换的价值 。 BF ：用外币表示的从互换中分解出来的外币债 券的价值 。 BD ：从互换中分解出来的本币债券的价值 。 S0 ：即期汇率（直接标价法） 。 那么对于收入本币、付出外币的那一方：
对付出本币、收入外币的那一方：
V互换 BD S0 BF
பைடு நூலகம் 答案：
即期汇率为1美元＝110日元，或1日元＝ ( r r )(T t ) 0.009091美元。根据 F Se ，一年期、 两年期和三年期的远期汇率分别为
f
0.009091e0.041 0.009462
0.009091e0.042 0.009848
0.009091e0.043 0.01025
V互换 S0 BF BD
二、运用债券组合为货币互换定价
假设美元和日元的LIBOR利率的期限结构是平的， 在日本是2％而在美国是6％（均为连续复利）。 某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元， 利率为3％（每年计一次复利），同时付出美元， 利率为6.5％（每年计一次复利）。两种货币的 本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔 互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期 汇率为1美元＝110日元。如何确定该笔货币互 换的价值？
二、协议签订后的利率互换定价
假设在一笔利率互换协议中，某一金融 机构支付3个月期的LIBOR，同时收取4.8％ 的年利率（3个月年计一次复利），名义本 金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目 前3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复 利）分别为4.8％、5％和5.1％。上一次利 息支付日的3个月LIBOR为4.6％（3个月计 一次复利）。试计算此笔利率互换对该金 融机构的价值。
i 1
浮动利率债券的定价公式则为
Bfl ( A k * )er1t1
二、协议签订后的利率互换定价
为什么是浮动利率的定价公式是这样的？ 第一、在浮动利率债券新发行时，该债券的价值就应该 等于它的面值； 第二、在任意时刻重新确定利率的时刻，付息之后的浮 动利率债券价值就等于新发行的同期限的浮动利率债券 面值，付息之前的浮动利率债券价值就等于面值 A 加
二、协议签订后的利率互换定价
答案： 3个月计一次复利的4.8%与4.6%对应的连续复利利率 分别为 4.8%
4 ln 1 4.77% 4 4.6% 4 ln 1 4.57% 4
表7-2列示了具体的计算过程，表中的利率均为连续复 利。
一、利率互换定价的基本原理
第二，在协议签订时，一个公平的利率互换协议 应使得双方的互换价值相等。也就是说，协议签 订时的互换定价，就是选择一个使得互换的初始 价值为零的固定利率。
二、协议签订后的利率互换定价
（一）运用债券组合给利率互换定价
定义 B fix ：互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 B fl ：互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机 构支付3个月期的LIBOR，同时收取4.8％的 年利率（3个月计一次复利），名义本金为 1亿美元。互换还有9个月的期限。目前3个 月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分 别为4.8％、5％和5.1％。上一次利息支付 日的3个月LIBOR为4.6％（3个月计一次复 利）。试计算此笔利率互换对该金融机构 的价值。
Financial Engineering
授课人：王正文 讲 师
武汉大学经济与管理学院 邮箱：wzw13@whu.edu.cn
互换定价的原理： 互换可以分解为有限个债券的组合， 也可以分解成有限个远期协议的组合。 根据这一思路就可以对互换进行定价。 与互换相关的风险包括： 信用风险和市场风险。
第七章 互换的定价及风险分析
与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为
3600 0.009462 65 e0.061 29.1355万美元 0.062 3600 0.009848 65 e 26.2058万美元 3600 0.01025 65 e0.063 23.4712万美元
二、协议签订后的利率互换定价
答案： 在这个例子中k 120万美元，k * 115万美元，因此 Bfix 120e0.0480.25 120e0.050.5 10120e0.0510.75 9975.825 万美元 Bfl 10000 115 e0.0480.25 9994.345 万美元 因此，对于该金融机构而言，此利率互换的价值为 9975.825－9994.345＝－18.52万美元 显然对于该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换 的价值为正，即18.25万美元。
一、利率互换定价的基本原理
表7-1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元） （a）不考虑名义本金
一、利率互换定价的基本原理
表7-1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元） （b）考虑名义本金
一、利率互换定价的基本原理
我们可以从三个角度来理解表7-1（a）的利率互 换： 1. 该利率互换由列（4）的净现金流序列组成， 这是互换的本质，即未来系列现金流的组合。
一、利率互换定价的基本原理
3. 如果对列（4）的现金流按行进行拆分，该利 率互换可以看作由从行（I）至行（VIII）共8次 的现金流序列组成。观察各行，除了行（I）的 现金流在互换签订时就已经确定，其他各行的现 金流都类似远期利率协议（FRA）的现金流。很 明显，利率互换可以看成是一系列用固定利率交 换浮动利率的FRA的组合。只要我们知道组成利 率互换的每笔FRA的价值，就计算出利率互换的 价值。
BD 65e0.061 65e0.062 1065e0.063 1008.427
与利率互换类似，货币互换还可以分解成 一系列远期合约的组合。货币互换中的每 次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金 流来代替。因此只要能够计算并加总货币 互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价 值，就可得到相应货币互换的价值。
一、利率互换定价的基本原理
利率互换既可以分解为债券组合、也可以 分解为FRA的组合进行定价。由于都是列（4） 现金流的不同分解，这两种定价结果必然是等价 的。
一、利率互换定价的基本原理
与远期合约相似，利率互换的定价有两种情形： 第一，在协议签订后的互换定价，是根据协议内 容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。对 于利率互换协议的持有者来说，该价值可能是正 的，也可能是负的。
三、协议签订时的利率互换定价
答案：
利率互换中合理固定利率的选择应使得利 率互换的价值为零，即 B B 。在这个例 0.0480.25 0.0480.25 B 10000 e e 10000 万美元， 子中， fl 而使得
fl fix
B fix
k 0.0480.25 k 0.050.5 k 0.0510.75 k 0.0521 k 0.05151.25 k 0.0531.5 k 0.0531.75 k e e e e e e e 10000 e0.0542 4 4 4 4 4 4 4 4
假设美元和日元LIBOR利率的期限结构是平的， 在日本是2％而在美国是6％（均为连续复利）。 某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元， 利率为3％（每年计一次复利），同时付出美元， 利率为6.5％（每年计一次复利）。两种货币的 本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔 互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期 汇率为1美元＝110日元。如何确定该笔货币互 换的价值？
二、协议签订后的利率互换定价
（二）运用远期利率协议给利率互换定价
对于收取固定利息的交易方，FRA的定价公式为
Ae
rK (T *T )
Ae
rF (T *T )
e
r * T * t


因此，要运用FRA给利率互换定价，只要知道利 率期限结构，从中估计出FRA对应的远期利率与 息差现值，即可得到每笔FRA的价值，加总就可 以得到利率互换的价值。
第一节 利率互换的定价
考虑一个2005年9月1日生效的两年期利率互 换，名义本金为1亿美元。甲银行同意支付给乙 公司年利率为2.8％的利息，同时乙公司同意支付 给甲银行3个月期LIBOR的利息，利息每3个月交 换一次。利率互换中甲银行的现金流量表如表7-1 所示，其中（a）为不考虑名义本金，（b）为考 虑名义本金的情况。
10000万美元
的k=543美元，即固定利率水平应确定为 5.43%（3个月计一次复利）。
第二节 货币互换的定价
一、货币互换定价的基本原理
与利率互换类似，货币互换也可以分解为债券的 组合或远期协议的组合，只是这里的债券组合不 再是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是 一份外币债券和一份本币债券的组合，远期协议 也不再是FRA，而是远期外汇协议。
二、运用债券组合为货币互换定价
答案：
如果以美元为本币，那么
万美元 BF 3600e0.021 3600e0.022 123600e0.023 123389.7 万日元 货币互换的价值为 123389.7 1008.427 113.30 万美元 110 如果该金融机构是支付日元收入美元，则对于 它来说，货币互换的价值为－113.30万美元。
二、协议签订后的利率互换定价
对于互换多头也就是固定利率的支付者来 说，利率互换的价值就是
V互换＝Bfl Bfix
反之，对于互换空头也就是浮动利率的支 付者来说，利率互换的价值就是
V互换＝Bfix Bfl
这里固定利率债券的定价公式为 n
B fix ke riti Ae rntn
一、利率互换定价的基本原理
2. 如果对列（4）的现金流按列进行拆分，该利 率互换可以看作由列（2）和列（3）的现金流序 列组成。假设在互换生效日与到期日增加1亿美 元的本金现金流，列（2）和列（3）转化为表71（b）的列（6）与列（7）。
一、利率互换定价的基本原理
对甲银行而言，该利率互换事实上可以看作一个 浮动利率债券多头与固定利率空头头寸的组合， 这个利率互换的价值就是浮动利率债券与固定利 率债券价值的差。由于互换为零和游戏，对于乙 公司来说，该利率互换的价值就是固定利率债券 价值与浮动利率债券价值的差。也就是说，利率 互换可以通过分解成一个债券的多头与另一个债 券的空头来定价。
二、协议签订后的利率互换定价
表7-2 运用FRA组合给利率互换定价（万美元）
二、协议签订后的利率互换定价
显然，这个结果与前面运用债券组合定出的利 率互换价值－18.52万美元是一致的，100美 元的差异源于连续复利与普通复利之间转换时 的四舍五入。
三、协议签订时的利率互换定价
假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金 融机构支付3个月期的LIBOR，同时每3个月收取 固定利率（3个月计一次复利），名义本金为1 亿美元。目前3个月、6个月、9个月、12个月、 15个月、18个月、21个月与2年的贴现率（连续 复利）分别为4.8％、5％、5.1％、5.2％、 5.15％、5.3％、5.3％与5.4％。第一次支付的 浮动利率即为当前3个月期利率4.8％（连续复 利）。试确定此笔利率互换中合理的固定利率。
上应付利息k * ；
Bfl ( A k * )er1t1
二、协议签订后的利率互换定价
第三、更加证券定价的一般原理，在不考虑流动性因素 的情况下，选定证券存续期内的任一时点，证券的价值
等于该时刻的证券价值加上现在到该时点之间现金流的
贴现值。
Bfl ( A k * )er1t1
二、协议签订后的利率互换定价
与最终的本金交换等价的远期合约的价值为
0.063 120000 0.01025 1000 e 192.1093万美元
所以这笔互换的价值为
192.1093 29.1355 26.2058 23.4712 113.30万美元