CH5《现代控制理论》讲稿

第五章 极点配置与观测器的设计

要点：

1状态反馈

2单输入系统的极点配置

3观测器及其设计 4用状态观测器的反馈系统概念 难点：

观测器及其设计

闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态品质指标。这种把极点不止在希望的位置的过程成为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，实现系统的极点配置。 §5-1 概述 一 状态反馈

把系统状态变量按照一定的比例关系，反馈到系统的输出端称为状态反馈。 设线性系统为

⎪⎩⎪⎨

⎧=+=•

Cx

y Bu

Ax x (5-1)

而反馈规律为

u=Kx+v (5-2) 其中A ，B ，C ，K 分别为n ×n 、n ×m 、p ×n 及m ×n 矩阵，v 为参考输入。则状态反馈的闭环系统的状态空间表达式为

⎪⎩⎪⎨

⎧=++=Cx

y Bv

x BK A x )(.

（5-3）

图5-1 状态反馈结构图

比较式（5-1）和式（5-3）可知，状态反馈前后的系统矩阵分别为A 和（A+BK ），特征方程分别为det[λI-（A+BK ）]，可看出状态反馈的系统特征根（即系统的极点）不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈K 有关，我们正式利用着一点对极点进行配置。应该主出完全能控的系统经过状态反抗侯，仍是完全能控的，但状态反馈可能改变系统的能观性。 二、输出反馈

把系统的输出变量按照一定的比例关系反馈找系统的输入端或.

x 端称为输出反馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明显的物理意义，因而

输出反馈易实现。

现没有式（4-1）描述的线性系统，对其进行输出反馈，取如下的控制规律。

~

Ky V u +=

（5-4）

式中~

K 为1×P 矩阵，称为输出反馈增益矩阵。将式（5-4）可将输出反馈侯的系统方程为 ⎪⎩⎪⎨

⎧=++=Cx

y Bv

x C K B A x )(~

.

（5-5）

图5-2 输出反馈结构图

比较（5-1）和（5-5）式可以蔬菜反馈前后的系统特征方程分别为det[]A I -λ和det[)],(~

C K B A I +-λ从而可见输出反馈后的系统极点与输出反抗矩阵~

K 有关。当我们把图5-2输出反馈结构图中的B 矩阵

移到第一个相加点之前时，就时输出变量反馈到.

x 端的情况如图5-3所示。

图5-3 输出反馈.

x 结构图

此时，系统的状态方程为

⎪⎩⎪⎨

⎧=+-=Cx

y Bu

x GC A x )(.

（5-6）

式中G 为n ×p 矩阵，也称为输出反馈增益矩阵。 输出反馈不改变系统的能观性。

状态反馈和输出反馈（主要指输出反馈至.

x 的情况）都能够对系统进行极点配置，且一般经验认为，用简单的比例反馈（即K ，~

K 或G 为常数矩阵）就能使问题得到解决。

下一章我们接着讨论，利用反馈对系统进行极点配置的条件和反馈矩阵的选择。

第二章 单输入极点配置

一、 应用状态、反馈实现预期的极点配置。

对于式（4-1）描述的系统∑=),,(C B A 采用状态反馈使闭环系统极点可任意配置的充要条件使系统完全能控。 证：由于系统∑=),,(C B A 完全能控，故可用变换∧

=x TX 化为能控标

准形。 即

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=∧-∧

∧-∧

111

00a a a I A n n

n Λ

M ，

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∧

100M ΘB 取 []1,,1∧

-∧

∧

K K K n n Λ

则

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡---=+∧

∧-∧

-∧

∧∧-∧∧∧11111

0a k a k a k I K B A n n n

n n Λ

M

其特征方程为 f(λ)=dat

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-∧

∧∧)(K B A I λ=n

λ+(-∧

K

1+

∧

a

1)

λ

n-1

+…

+(-∧

K n-1+∧

a n-1)λ+(-∧

k n +∧

a n )=0 (5-7) 设希望闭环系统特征根为对称复数复合：

Λ

={}λλλn Λ,,21

则对应的特征方成为

(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn )=λn +α1λn-1+…+α-1λ+αn =0 （5-8） 式中的α1，α2…αn 全为实数

根据特性值不变原理，式（5-7）和式（5-8）应具有相同的特征根，则两个方程系数应分别相等，即

α

1=（-∧k 1+∧a 1），…，αn-1=-∧k n-1+∧a n-1,αn =-∧k n +∧

a n

所以只要取⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=∧--∧

-∧

a k a k a k n n n n n n 1

11111αααM

（i=1，2，…n ）

原系统∑=（A,B,C ）的状态反馈阵K 可通过线性逆变换求得

•

∧

x =T •x =(u B x K B A ∧

∧∧∧∧++)

以上可有

u B x T K B A x T T ∧

-•

∧

∧∧

-•

++=11

)(

Bu x T K B A x ++=∧

∧•)(

（5-10）

上式与式（4-3）比较可得

K=T K ∧

(5-11)

只要按上（4-10）式选取K 阵即可保证状态反馈系统具有给定的（预期）的极点配置。证毕。

对于由能控标准型状态方程描述的系统可不经变化直接选取K 值，即相当于T=I

【例5-1】已知系统的传递函数为

)()(S U S Y =s

s s 231

23++ 试确定状态反馈矩阵K ，以使闭环系统的极点配置在s 1=-2,s 2,3=-1±j

解：因所给系统的传递函数无对消银子，故系统能控，是能控标准形的状态方程为