第14章 图的基本概念

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5. 标定图:当用图形表示图的时候，如果给每一个顶点和每 一条边指定一个符号，则称这样的图为标定图， 否则称为非标定图。 6.基图：用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作 D的基图 7. 端点、关联、关联次数、环、孤立点 设ek=(vi,vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi,vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2; 若vi不是ek 端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
d ( v ) 2m
i i 1
n
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度. 定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
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实例来自百度文库
例2 画出K4的所有非同构的生成子图
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补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图.
问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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定义 设无向图G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj) E, 则称
vi,vj相邻; 若ek,el至少有一个公共端点, 则称ek,el相邻. 对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条边,又称vi 是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi. 若两条边中一条边的终点是另一条边的始点，则称这两条 边相邻。 图(无向的或无向的)无边关联的顶点称作孤立点.
d (vi ) 2m, 且
i 1
n
d ( vi ) d ( vi ) m
i 1 i 1
n
n
本定理的证明类似于定理14.1
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握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
第五部分 图论
本部分主要内容 图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
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第十四章 图的基本概念
主要内容 图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 预备知识 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序集——AB={(x,y) | xAyB}
2m d (v ) d (v) d (v)
由于2m, d (v ) 均为偶数，所以 d (v ) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
vV
vV1
vV2
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
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握手定理应用
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则 d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 于是得不等式 32 24+2x 得 x 4, 阶数 n 4+4+3=11.
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(4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) D的最大入度+(D), 最小入度+(D) 最大出度(D), 最小出度(D) 最大度(D), 最小度(D) (5) 悬挂顶点、悬挂边、奇度顶点与偶度顶点 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边. 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点
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相关概念
8. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v的 邻 域 N ( v ) { u | u V (G ) ( u, v ) E (G ) u v}
v的 闭 邻 域 N ( v ) N ( v ) {v} v 的关联集 I (v ) {e | e E (G ) e与v关联} ② vV(D) (D为有向图)
图同构的实例
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
(1)
(2)
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图中(1)与(2)的度数列相同，它们同构吗？为什么？
n 阶完全图与竞赛图
定义14.6 (1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 Kn. 简单性质：边数 m n( n 1) , n 1 2
i 1
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n-1 例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可 简单图化的？ (1) (5,5,4,4,2,1) (2) (5,5,3,2,2) (3) (4,4,3,3,2,2)
图的同构
定义14.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1, (vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2 （<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 ) 并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2. 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件： ① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 判断两个图同构是个难题 17
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图的度数列
1 . V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列 2. V={v1, v2, …, vn}为有向图D的顶点集， D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn) D的入度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的出度列：d(v1), d(v2), …, d(vn) 3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的和可简单图化的. 若存在以V={v1, v2, …, vn}为顶点集的n阶无向图G，使得 d(vi) =di ,则称d是可图化的，特别地，若所得到的图是简 单图，则称d是可简单图化的。
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14.1 图
定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
实例
设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图
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易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的， 后者又是可简单图化的，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化的，特别是后者也不是可图化的 定理14.3 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的 n 当且仅当为 d (vi ) 偶数
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n 阶 k 正则图
(1)
(2)
(3)
(1)为K5，(2)为3阶有向完全图，(3)为4阶竞赛图. 定义14.7 n 阶k正则图——==k 的无向简单图 简单性质：边数（由握手定理得） nk m 2 Kn是 n1正则图， 彼得松图（见书上图14.3(1) 所示，记住它）
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子图
定义14.8 G=<V,E>, G=<V ,E > (1) G G —— G 为G的子图，G 为G 的母图 (2) 若G G且V =V，则称G 为G的生成子图 (3) 若V V或E E，称G 为G的真子图 (4) V （V V且V ）的导出子图，记作G[V ] (5) E （E E且E ）的导出子图，记作G[E ]
v的 后 继 元 集 D ( v ) { u | u V ( D) v, u E ( D) u v} v的 先 驱 元 集 D ( v ) { u | u V ( D) u, v E ( D) u v}
v的 邻 域 v的 闭 邻 域
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定义14.10 设G=<V,E>为无向图 (1)设e∈E,用G-e表示从G中去掉边e，称为删除边e. 又设E ⊂E，用G- E 表示从G中删除E 中所有边， 称为删除E 。 (2)设v∈V,用G-v表示从G中去掉v及所关联的一切边， 称为删除顶点v.又设 V ⊂V，用G- V 表示从G中删 除V 中所有的顶点，称为删除V 。 (3)设e=(u,v)∈E,用G\e表示从G中删除e后，将e的两个 端点u,v用一个新的顶点w(可以用u或v充当w)代替， 并使w关联除e以外u,v关联的所有边，称为边e的收 缩。
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有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
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相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的），通常用G表示无向 图，D表示有向图。 ② V(G), E(G)分别表示G的顶点集和边集, V(D), E(D)分别 表示D的顶点集和边集。 2. n阶图:顶点数称作图的阶，n个顶点的图称为n阶图 3. 零图:一条边也没有的图称为零图。 n 阶零图: n个顶点， 边集为空集，记作Nn。 平凡图: 1阶零图N1称为平凡图 4. 空图:在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算 中可能产生顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点 集为空集的图为空图，空图记为。
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相 反的有向边的有向简单图. 简单性质： m n( n 1), 2( n 1), n 1
(3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 简单性质：边数 m n( n 1) , n 1
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顶点的度数
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v):v作为边的端点次数之 和，v的度数, 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV, d+(v)—v的入度: v作为边的始点次数之和 d(v)—v的出度: v作为边的终点次数之和 d(v)—v的度或度数:d(v)= d+(v)+ d-(v) (3) (G), (G) 最大度(D), 最小度(D)
(4)设u,v∈V(u,v可能相邻，也可能不相邻),用G∪(u,v) (或G+(u,v))表示在u,v之间加一条边(u,v)，称为加 新边。 注:在收缩边和加新边过程中可能产生环和平行边。
N D ( v ) D ( v ) D ( v )
N D ( v ) N D ( v ) {v}
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多重图与简单图
定义14.3 (1)在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数. (2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和 终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的 条数称为重数. (3)含平行边的图称为多重图. (4)既无平行边也无环的图称为简单图. 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念