含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2

x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122

>+++x a ax

分析：本题二次项系数含有参数，()04422

2

>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解：∵()04422

2

>+=-+=∆a a a

解得方程 ()0122

=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a

a a x 24

222++--=

∴当0>a 时,解集为⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或

当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>

21|x x 当0

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22

例2 解不等式()00652

≠>+-a a ax ax

分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2

>--=+-x x a x x a

∴当0>a 时，解集为{}32|>

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042

>++ax x

分析 本题中由于2

x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162

-=∆a

∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；

当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≠

∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2

16

22---=a a x ，显然

21x x >,

∴不等式的解集为⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或

例4 解不等式()

()R m x x m ∈≥+-+01412

2

解 因,012>+m (

)(

)2

2

2

3414)4(m m -=+--=∆

所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

=

21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩

⎪

⎨⎧+--+-+>132132222

2m m x m m x x 〈或； 当33>

-

三、按方程02

=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；

例5 解不等式)0( 01)1

(2

≠<++

-a x a

a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1

(<--a

x a x ，故对应的方程必有两解。本题

只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a

a 1

=，可得：1±=a ∴当1-

，故原不等式的解集为⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

<

a 1

=

,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>

,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<

2

>+-a ax x ，0≠a

分析 此不等式()02452

22

>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故

只需比较两根a 2与a 3的大小.

解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a

时，

即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0

解集为{}

|23x x a x a ><或

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨

⎧<∆>⇔0

a ;

2）0)(

⎩

⎨

⎧<∆<⇔a 例1：若不等式02)1()1(2

>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以

要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）01≠-m 时，只需⎩

⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(0

12

m m m ，所以，)9,1[∈m 。 例2．已知函数])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(2

2

>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有

04)1(22<--=∆a a 解得3

1

1>

-

1()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：