欧拉线证明方法论

欧拉线证明方法论

随着素质教育的推进，实践应用教学的加深，课本中对以往有些重要的知识都略去了，这是大势所趋，但有些知识的方法论却是很有用的，诸如欧拉线定理的证明就是一例。什么是欧拉线呢？

欧拉线是瑞士数学家和物理学家莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出来的：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线就叫做欧拉线。我们把这个定理叫做欧拉线定理。

如今的中学生几乎有一半以上对此一无所知，这也没什么。可它的证明方法却很值得借鉴，这也正是我所要说的。下面我们就来看它是怎样证明的：

欧拉线的证明:

方法一：如图①, 作△ABC的外接圆⊙O，高AD与BE相交于点H，连OH 交中线AM于点G，显然O是外心，H是垂心，于是只要证明G是重心就可以了。证明如下：

∵OM⊥BC

∴BM＝CM∠BOM＝1/2∠BOC＝∠BAC

在Rt△BOM中，OM=BM·cot∠BOM＝BC·cot∠BAC

又由△AEH∽△ＢＥC，得AH/BC=AE/BEｃｏｔ∠BAC

∴AH＝BC·cot∠BAC

∴IM＝1/2ＡＨ

又∵OM∥AH∴AG/GM＝２

∴点Ｇ是△ABC的重心

∴点Ｏ、Ｇ、Ｈ在同一条直线上

这就证明了欧拉线定理。

方法二：如图②，作△ABC的外接圆⊙O，连结并延长BO，交外接圆于点D，连结AD、CD、AH、CH、OH，作中线AM，设AM交OH于点G，于是以下只要证明G是重心就可以了

∵BD是直径

∴∠BAD、∠BCD是直角?

∴AD⊥AB，DC⊥BC?

∵CH⊥AB，AH⊥BC

∴DA‖CH，DC‖AH

∴四边形ADCH是平行四边形

∴AH=DC

∵M是BC的中点，O是BD的中点

∴OM=1/2DC

∴OM=1/2AH

∵OM‖AH

∴△OMG∽△HAG

∴=AG/GM2

∴G是△ABC的重心

∴O、G、H三点在同一条直线上。

这样也证明了欧拉线定理。

以上的两种方法是多么的妙呀！在解法中有机地把圆的知识、解三角形的知识、相似三角形的知识以及平形四边形等知识统一起来，从而完成对欧拉线定理的证明，对于迎中考的初三学生来说，这两种方法是可以理解的，也是可掌握的；这样既了解了欧拉线定理、学到了知识，又可以通过类似的方法去解决更多更难的问题，可见其方法论是很有作用的。作为一名学生，多掌握几种解题的方法和思路，何乐而不为呢？