简谐振动方程弹簧振子的振动理性化模型
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简谐运动的特征：加速度与位移的大小x成正比，方向相反
解方程
令 2 =k / m d2 x 2 x
设初d始t 2条件为:
简谐运动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
由 x Acos(t )
Fm
Ox
x
小球和弹簧所组成的系统 称作弹簧振子，有时也把这样 的小球称做弹簧振子或简称振子。
理性化模型：
（1）不计阻力 （2）小球需体积很小，可当做质点处理。 （3）弹簧的质量与小球相比可以忽略。
由胡可定理可知：
F kx ma a F k x
mm
加速度a 与位移X的大小成正比，与位移的方向相反
“ t+” 叫简谐运动的相位.表示 简谐运动所处的状态. 叫初相位简称初相，即t=0时 的相位.
振幅A和初相 都由初始条件 决定
3 简谐振动的能量
x 以A 弹co簧s(振t子为例)
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
源自文库
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A2
线性恢复力是保守力，做简谐运动的系统机械能守恒。 动能势能相互转化
x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
磬无故而鸣，使和尚大为惊奇， 渐渐由惊而疑，由疑而怯，一听到 磬发出声音，就坐卧不安，心惊肉 跳，以为是妖孽作怪，结果忧虑成 疾，病倒在床.
共振的现象
一天，和尚向前来探望他的朋友 诉说了内心的忧虑.正在说话时，寺 院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发 出了嗡嗡的响声.
共振的现象
和尚的朋友明白了原由，悄悄 用钢锉在磬上锉了几处. 从此之后， 磬再也不会无故发声了. 和尚以为 妖怪已被赶走，心事顿消，病也不 治而愈.
振幅 A xmax
A
振幅反映振动物体的能量
O
Tt
T
周期 T 2π
A
2
周期是物体作一次全振动的时间
弹簧振子周期
频率 1 注意
T 2π
T 2π m k
频率是单位时间内全振动的次数
圆频率 2π 2π
T
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x Acos(t )
则 A A1 A2
振动减弱
三、受迫振动 共振
系统在周期性外力 作用下所进行的振动叫 受迫振动. ( 如扬声器 中纸盆的振动、机器运 转时引起基座的振动 )
当受迫振动达到稳 定后，振动的振幅保持 稳定不变.
振子在作受迫振动时，当周期性外力的频率与振 子的固有频率接近时，振子振幅显著增加, 在某一频率 时, 振幅达到最大，这一现象称为共振。达到共振时的 频率叫共振频率。
常见的振动现象
1
振动和波
简谐振动及合成(3学时)
机械波及应用 (2学时)
波的衍射
(1学时)
波的干涉
(2学时)
2
6-1 简谐振动
一、 简谐振动
物体在平衡位置（中心位置）两侧附近所做 的周期性往复运动叫机械振动。通常简称为 振动。
弹簧振子的运动
1. 简谐振动方程
弹簧振子的振动
l0 k
A
m
x
o
A
简谐运动方程
得 v dx A sin(t )
dt
a d2 x A 2 cos(t )
dt 2
其中 A
x2 0
( v0
)2
arctan(
v0
)
x0
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
O
当阻尼趋于零时，共振频率等于系统的固有频率。
请举出你所知道的受迫振动的例子
①跳板在人走过时发生的振动 ②机器底座在机器运转时发生的振动
③听到声音时耳膜的振动
共振的现象
唐朝时，洛阳有个和尚喜欢弹拨 乐器，他的房间里放着一种乐器—— 磬.奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响， 无缘无故地发出嗡嗡的声音.
共振的现象
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
二、两个同方向同频率谐振动的合成
合成
简谐运动
复杂振动
若有两个同方向、同分频解率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
O
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
O
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
2 振幅 周期和频率 相位
x xt图
)
Ep
1 2
k
x2
1 2
kA2
c
os2
(t
)
2 k /m
E线性E恢k 复 E力p是保12守kA力2 ，做A简2 谐运动的系统机械能守恒
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
讨论：
1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
则 A A1 A2
振动加强
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
两个振动的合位移
x Acos(t )
合振动的振幅
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
x Acos(t )
A2
A
x O x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2
共振的原因
磬为什么会不敲自鸣呢？这是共振 引起的一种现象. 当一物体的振动频率 与另一物体的固有频率一致时，前者的 振动能引发后者的振动. 磬的频率偶然 地和钟的频率一样，因此每当钟响时, 磬也因共振而发出嗡嗡之声.
解方程
令 2 =k / m d2 x 2 x
设初d始t 2条件为:
简谐运动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
由 x Acos(t )
Fm
Ox
x
小球和弹簧所组成的系统 称作弹簧振子，有时也把这样 的小球称做弹簧振子或简称振子。
理性化模型：
（1）不计阻力 （2）小球需体积很小，可当做质点处理。 （3）弹簧的质量与小球相比可以忽略。
由胡可定理可知：
F kx ma a F k x
mm
加速度a 与位移X的大小成正比，与位移的方向相反
“ t+” 叫简谐运动的相位.表示 简谐运动所处的状态. 叫初相位简称初相，即t=0时 的相位.
振幅A和初相 都由初始条件 决定
3 简谐振动的能量
x 以A 弹co簧s(振t子为例)
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
源自文库
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A2
线性恢复力是保守力，做简谐运动的系统机械能守恒。 动能势能相互转化
x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
磬无故而鸣，使和尚大为惊奇， 渐渐由惊而疑，由疑而怯，一听到 磬发出声音，就坐卧不安，心惊肉 跳，以为是妖孽作怪，结果忧虑成 疾，病倒在床.
共振的现象
一天，和尚向前来探望他的朋友 诉说了内心的忧虑.正在说话时，寺 院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发 出了嗡嗡的响声.
共振的现象
和尚的朋友明白了原由，悄悄 用钢锉在磬上锉了几处. 从此之后， 磬再也不会无故发声了. 和尚以为 妖怪已被赶走，心事顿消，病也不 治而愈.
振幅 A xmax
A
振幅反映振动物体的能量
O
Tt
T
周期 T 2π
A
2
周期是物体作一次全振动的时间
弹簧振子周期
频率 1 注意
T 2π
T 2π m k
频率是单位时间内全振动的次数
圆频率 2π 2π
T
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x Acos(t )
则 A A1 A2
振动减弱
三、受迫振动 共振
系统在周期性外力 作用下所进行的振动叫 受迫振动. ( 如扬声器 中纸盆的振动、机器运 转时引起基座的振动 )
当受迫振动达到稳 定后，振动的振幅保持 稳定不变.
振子在作受迫振动时，当周期性外力的频率与振 子的固有频率接近时，振子振幅显著增加, 在某一频率 时, 振幅达到最大，这一现象称为共振。达到共振时的 频率叫共振频率。
常见的振动现象
1
振动和波
简谐振动及合成(3学时)
机械波及应用 (2学时)
波的衍射
(1学时)
波的干涉
(2学时)
2
6-1 简谐振动
一、 简谐振动
物体在平衡位置（中心位置）两侧附近所做 的周期性往复运动叫机械振动。通常简称为 振动。
弹簧振子的运动
1. 简谐振动方程
弹簧振子的振动
l0 k
A
m
x
o
A
简谐运动方程
得 v dx A sin(t )
dt
a d2 x A 2 cos(t )
dt 2
其中 A
x2 0
( v0
)2
arctan(
v0
)
x0
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
O
当阻尼趋于零时，共振频率等于系统的固有频率。
请举出你所知道的受迫振动的例子
①跳板在人走过时发生的振动 ②机器底座在机器运转时发生的振动
③听到声音时耳膜的振动
共振的现象
唐朝时，洛阳有个和尚喜欢弹拨 乐器，他的房间里放着一种乐器—— 磬.奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响， 无缘无故地发出嗡嗡的声音.
共振的现象
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
二、两个同方向同频率谐振动的合成
合成
简谐运动
复杂振动
若有两个同方向、同分频解率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
O
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
O
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
2 振幅 周期和频率 相位
x xt图
)
Ep
1 2
k
x2
1 2
kA2
c
os2
(t
)
2 k /m
E线性E恢k 复 E力p是保12守kA力2 ，做A简2 谐运动的系统机械能守恒
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
讨论：
1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
则 A A1 A2
振动加强
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
两个振动的合位移
x Acos(t )
合振动的振幅
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
x Acos(t )
A2
A
x O x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2
共振的原因
磬为什么会不敲自鸣呢？这是共振 引起的一种现象. 当一物体的振动频率 与另一物体的固有频率一致时，前者的 振动能引发后者的振动. 磬的频率偶然 地和钟的频率一样，因此每当钟响时, 磬也因共振而发出嗡嗡之声.