吉林大学工程流体力学第2章 流体静力学
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工程中习惯上用如下两种换算单位: 1)液柱高单位
p h g
液柱高 液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg) 等, 多用于实验室计量 。 2 )大气压单位
2.4.2 静压强的计算标准
(1)绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大 小。 (2)计示压强：以当地大气压为零计算的压强， 比当地大气压大多少的压强，叫做计示压 强或表压强。
(3)真空度：某点压强低于当地大气压，其低
于当地大气压的数值叫真空度。
绝对压强、相对压强与真空度的关系
绝对压强、相对压强、真空度
绝对压强是以绝对真 空为起点，其值恒大 于0； 相对压强是以当地大 气压为起点，其值可 正可负，也可为0.相 对压强又称计示压强； 相对压强小于0时，其 数值的绝对值又称真 空度。
C'
（1）静压强基本方程的物理意义 Z：单位重力流体的位置势能
p ：单位重力流体压强势能 g
物理意义：平衡流体中任意点的总势能 （包括位置势能和压强势能）保持不变。 使用条件：重力场、不可压缩流体
重力流体的压强势能
根据静压强基本方程有：
1.从量纲上分析； 2.一定的流体静压强代 表使液柱上升一定高度 的势能。 P z ； C点的总势能： g
结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处 于平衡状态。
2.2.3 等压面
1、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。
方程： f x dx f y dy f z dz 0
2、等压面的选取 （1）同种流体； （2）静止；
（3）连续。
例1：1、2、3、4各点是否处在一个等压面上？ 各点压强的大小关系如何。
h 5 500mm, 1 1000kg / m3 , 2 772.7kg / m3 , 3 13.6 103 kg / m3 .
2.5.1 作用在平面上的总压力(水平面、垂直面、斜面)
1、总压力
F2
A1 F1 F3 A3 A2 h
（1）左侧壁面受力
1 F1 gh A1 2
解：逐段采用压强公式，可算 出：
p A d1 w gh1 d 2 w gh2 d 3 w gh3 pB pB p A d 3 w gh3 d1 w gh1 d 2 w gh2 pB p A 4071Mpa
• [例题3] 如图所示测定装置，活塞直径d=35mm，
油的相对密度d油=0.92,水银的相对密度d水银=13.6，
活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15N时，
h=700mm，试计算U形管侧压计的液面高度△h值。
（P35 例题2.2)
p
15598(Pa)
15598
[例题4]如下图所示，用双U形管测压计测量A、B两点的压差。
已知:
h1 600mm, h 2 250mm, h 3 200mm, h 4 300mm,
方程物理意义：在静止流体中，作用在单位质量 流体上的 质量力与作用在该流体表面上的表面力相互 平衡。
discussion
• 微元流体的质量力与该方向上表面力的合力应 该大小相等、方向相反。
• 平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压 强沿该方向上必然发生变化；反之，如果哪个 方向没有质量力分力，则流体静压强在该方向 上保持不变。 • 假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的 流体静压强必然处处相等，这正是在简化处理 机械或仪器中气体平衡问题时所遇到的情况。
取等压面1-1，列方程： p1+1gh1= p2+2gh2 +´gh
则 p1 -p2 =2gh2 +´gh- 1gh1
（4）倾斜式微压计（自己看）
测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。
实质：应用几何原理测压。
例2. 为了测量高度差为z的两个水管中的微小压强差
PB-PA,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U 形管。已知A、B管中的液体相对密度d1=d3=1,倒U形管 中液体相对密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，试求 压强差PB-PA。
切向力（平衡流体=0）
F dV lim A0 A dy
2.1.3 流体静压力和流体静压强 作用在平衡流体上的表面力只有沿受压表面内法线方 向的流体静压力。 一般来说，受压表面各点流体静压力的强度并不一定 相等，某点流体静压力的强弱用该点的压强来表示。
F dF lim 一点的流体静压强为 ： p A0 A dA
作用在某个有限表面的静压力为： F pdAn
A
n ：微元面积外法线方向的单位矢量。
流体静压力和流体静压强区别
流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大小、 方向、作用点），单位符号是N，用大写字母 F 来表示。它 的大小和方向均与受压面有关，方向是沿受压面内法线方向。 流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号Pa,用小写字 母p来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。
由于微元六面体处于平衡状态，故在X方向有：
(p 1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dydz f x dxdydz 0 2 x 2 x
化简，得
fx
1 p 0 x
同理可求得y、z方向的平衡方程。
流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式 ）
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
1、2两点同种液体、静止、连续，且在同一高度，是同一等 压面；（重力场中等压面是水平面） 2、3两点不满足连续条件，压强不一定相等； 3、4两点不满足同种液体条件，压强不一定相等； 事实上，
P2 P3，P3 P4
§2.4
静压强的计算与测量
2.4.1 静压强的计算单位
• 流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa =1N/m2 )，1bar=105 Pa 。应力单位多用于理论 计算。
相加，移项得： f x dx f y dy f z dz 1 ( p dx p dy p dz )
x
1 y z f x dx f y dy f z dz
dp
◆ 质量力的势函数
f x dx f y dy f z dz 1 p p p ( dx dy )0 x y z
为超常力。
质量力：
重力： 惯性力：动力学问题按静力 学求解时虚拟的力
另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可 能受到其他一些非接触力，如电场力和磁场力，
这些力虽然与流体质量无直接关系，在静力学分
析中，仍把它们称为质量力。
单位质量力
在流体力学中，常用到单位质量力的概念。 单位质量流体所受的质量力称单位质量力。
预测量容器中气体的真空度
容器中的真空度 P=gh
（2）U形管测压计
(a) p+1gh1= 2gh2 ，则计示压强 p= 2gh2 - 1gh1
(b) p+1gh1+ 2gh2=0 ，则真空度 p=1gh1+ 2gh2
（3）差压计 测量两点压差的仪器叫差压计。
常用来测量 两容器的压 强差或管路 中两点的压 强差。
上式就是自由表面的不可压缩重力流体中压强分布规 律的数学表达式，也是静力学基本方程的形式之一，式
中 h 为距自由表面的深度。从该式中可以看出：
1.在重力作用下，液体内部的压强随深度 h 线性增加；
2 在重力作用下的液体中，深度相同的各点静压强
亦相同。因此等压面是一水平面。
2.3.2 可压缩流体的静压强分布公式（略） 静水力学基本方程演示
（3）静压强分布规律 静压强基本公式中的积分常数C用平衡液体自由表 面上的边界条件：z=z0，p=p0来确定。于是有
p0 p z C z0 g g
移相，整理得：
（边界条件）
p p0 g ( z0 z) p0 gh
（h 淹入系数， h z0 z )
（2）右侧壁面受力
F2 1 gh A2 2
平面受力计算公式： F pc A
pc ：受力面形心点的压强
A ：受力面面积
（3）底面受力
F3 gh A3
2、积分法求总压力及作用点
（1）总压力
讨论与水平成 角的平面
dF pdA ghdA
F dF g hdA g sin xdA
真空度
2.4.3 静压强的测量
（1）测压管（最简单的液柱式测压计）
预测量容器（管道）中某点A压强， 在容器（管道）该点处开一个小孔， 接测压管（管内径一般大于5mm)， 液体在压强作用下升高，可测出高度 h ,继而得到A点的计示压强。 测压管测压计结构简单，测量准确。 但存在限制条件：1不能测气体压强； 2.管内压强要大于当地大气压；3.测 点A压强不能过高；
A点的总势能：z h 0；
h 根据静压强基本方程有： p g
可见可以用液柱高度表示单位 重力流体所具有的能量。
（2）静压强基本方程的几何意义 单位重力流体所具有的能量也可以用液 柱高度来表示，并称水头。
p g
Z
：位置水头
：压强水头
流体的静水头线和计示水头线
流体静力学基本方程几何意义：在重力作用下的连续均质不 可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。
欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用 的一个基本公式，因为在推导过程中， 质量力是空间任意方向，故它既适应 于绝对静止，也适于相对静止。同时 推导过程中也不涉及流体的密度是否 发生变化，故它不仅适应于不可压缩 流体，也适于可压缩流体。 流体静力学的一切其它计算公式都是 以它为基础面推导出来的。
矢量形式：f 1 gradp 0
2.2.2 欧拉平衡方程式的综合形式 由
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
1 p f x dx dx 0 x 1 p f y dy dy 0 y 1 p f z dz dz 0 z
由
dp ( f x dx f y dy f z dz)
能满足下述关系
W y
fz W z
若有函数 W W ( x, y, z)
fx W x
fy wk.baidu.com
有
( f x dx f y dy f z dz ) (
W W W dx dy ) dW x y z
流体静压强两个重要特性
流体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点的流体静压
强在各方向等值，即 px
py pz p 故 p p( x, y, z)
流体静压力的方向沿作用面的内法线方向。
§2.2流体平衡微分方程式 2.2.1 流体平衡微分方程式的导出
流体平衡微分方程导出示意图
从静止流体中取出一个边长为dx、dy、dz的微元平行六 面体，对其进行受力分析。
Fm ma m f am m m
作用在流体质点上的质量力 dFm dm am dm( f xi f y j f z k ) 其中： f x、f y、f z 是单位质量力在x、y、z轴上的投影
简称单位质量分力。
2.1.2 表面力
定义：作用在流体表面上，且与表面积大小 成正比 的力。 表面力分为两种：一种是沿着表面内法线方 向的压力，一种是沿着表面切向的摩擦力。 法向力（流体静压力）
第2章 流体静力学
研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。
平衡包括两种：
什么是平衡？ 1、绝对平衡：重力场中的流体平衡
流体对地球无相对运动； 2、流体的相对平衡 流体对运动容器无相对运动。
dV 0 dy
2.1.1 质量力
定义：作用在流体质点上，大小与流体质点质
量成正比的力，它是非接触力，有些教材也称
§2.3 重力场中的平衡流体
• 2.3.1 不可压缩流体的静压强基本公式 1 f x dx f y dy f z dz dp 综合方程： 现 故有：
C, f x f y 0, f z g
gdz
gz p
1
dp
积分有： p z C 即： g (静压强基本公式)
p h g
液柱高 液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg) 等, 多用于实验室计量 。 2 )大气压单位
2.4.2 静压强的计算标准
(1)绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大 小。 (2)计示压强：以当地大气压为零计算的压强， 比当地大气压大多少的压强，叫做计示压 强或表压强。
(3)真空度：某点压强低于当地大气压，其低
于当地大气压的数值叫真空度。
绝对压强、相对压强与真空度的关系
绝对压强、相对压强、真空度
绝对压强是以绝对真 空为起点，其值恒大 于0； 相对压强是以当地大 气压为起点，其值可 正可负，也可为0.相 对压强又称计示压强； 相对压强小于0时，其 数值的绝对值又称真 空度。
C'
（1）静压强基本方程的物理意义 Z：单位重力流体的位置势能
p ：单位重力流体压强势能 g
物理意义：平衡流体中任意点的总势能 （包括位置势能和压强势能）保持不变。 使用条件：重力场、不可压缩流体
重力流体的压强势能
根据静压强基本方程有：
1.从量纲上分析； 2.一定的流体静压强代 表使液柱上升一定高度 的势能。 P z ； C点的总势能： g
结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处 于平衡状态。
2.2.3 等压面
1、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。
方程： f x dx f y dy f z dz 0
2、等压面的选取 （1）同种流体； （2）静止；
（3）连续。
例1：1、2、3、4各点是否处在一个等压面上？ 各点压强的大小关系如何。
h 5 500mm, 1 1000kg / m3 , 2 772.7kg / m3 , 3 13.6 103 kg / m3 .
2.5.1 作用在平面上的总压力(水平面、垂直面、斜面)
1、总压力
F2
A1 F1 F3 A3 A2 h
（1）左侧壁面受力
1 F1 gh A1 2
解：逐段采用压强公式，可算 出：
p A d1 w gh1 d 2 w gh2 d 3 w gh3 pB pB p A d 3 w gh3 d1 w gh1 d 2 w gh2 pB p A 4071Mpa
• [例题3] 如图所示测定装置，活塞直径d=35mm，
油的相对密度d油=0.92,水银的相对密度d水银=13.6，
活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15N时，
h=700mm，试计算U形管侧压计的液面高度△h值。
（P35 例题2.2)
p
15598(Pa)
15598
[例题4]如下图所示，用双U形管测压计测量A、B两点的压差。
已知:
h1 600mm, h 2 250mm, h 3 200mm, h 4 300mm,
方程物理意义：在静止流体中，作用在单位质量 流体上的 质量力与作用在该流体表面上的表面力相互 平衡。
discussion
• 微元流体的质量力与该方向上表面力的合力应 该大小相等、方向相反。
• 平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压 强沿该方向上必然发生变化；反之，如果哪个 方向没有质量力分力，则流体静压强在该方向 上保持不变。 • 假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的 流体静压强必然处处相等，这正是在简化处理 机械或仪器中气体平衡问题时所遇到的情况。
取等压面1-1，列方程： p1+1gh1= p2+2gh2 +´gh
则 p1 -p2 =2gh2 +´gh- 1gh1
（4）倾斜式微压计（自己看）
测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。
实质：应用几何原理测压。
例2. 为了测量高度差为z的两个水管中的微小压强差
PB-PA,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U 形管。已知A、B管中的液体相对密度d1=d3=1,倒U形管 中液体相对密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，试求 压强差PB-PA。
切向力（平衡流体=0）
F dV lim A0 A dy
2.1.3 流体静压力和流体静压强 作用在平衡流体上的表面力只有沿受压表面内法线方 向的流体静压力。 一般来说，受压表面各点流体静压力的强度并不一定 相等，某点流体静压力的强弱用该点的压强来表示。
F dF lim 一点的流体静压强为 ： p A0 A dA
作用在某个有限表面的静压力为： F pdAn
A
n ：微元面积外法线方向的单位矢量。
流体静压力和流体静压强区别
流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大小、 方向、作用点），单位符号是N，用大写字母 F 来表示。它 的大小和方向均与受压面有关，方向是沿受压面内法线方向。 流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号Pa,用小写字 母p来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。
由于微元六面体处于平衡状态，故在X方向有：
(p 1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dydz f x dxdydz 0 2 x 2 x
化简，得
fx
1 p 0 x
同理可求得y、z方向的平衡方程。
流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式 ）
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
1、2两点同种液体、静止、连续，且在同一高度，是同一等 压面；（重力场中等压面是水平面） 2、3两点不满足连续条件，压强不一定相等； 3、4两点不满足同种液体条件，压强不一定相等； 事实上，
P2 P3，P3 P4
§2.4
静压强的计算与测量
2.4.1 静压强的计算单位
• 流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa =1N/m2 )，1bar=105 Pa 。应力单位多用于理论 计算。
相加，移项得： f x dx f y dy f z dz 1 ( p dx p dy p dz )
x
1 y z f x dx f y dy f z dz
dp
◆ 质量力的势函数
f x dx f y dy f z dz 1 p p p ( dx dy )0 x y z
为超常力。
质量力：
重力： 惯性力：动力学问题按静力 学求解时虚拟的力
另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可 能受到其他一些非接触力，如电场力和磁场力，
这些力虽然与流体质量无直接关系，在静力学分
析中，仍把它们称为质量力。
单位质量力
在流体力学中，常用到单位质量力的概念。 单位质量流体所受的质量力称单位质量力。
预测量容器中气体的真空度
容器中的真空度 P=gh
（2）U形管测压计
(a) p+1gh1= 2gh2 ，则计示压强 p= 2gh2 - 1gh1
(b) p+1gh1+ 2gh2=0 ，则真空度 p=1gh1+ 2gh2
（3）差压计 测量两点压差的仪器叫差压计。
常用来测量 两容器的压 强差或管路 中两点的压 强差。
上式就是自由表面的不可压缩重力流体中压强分布规 律的数学表达式，也是静力学基本方程的形式之一，式
中 h 为距自由表面的深度。从该式中可以看出：
1.在重力作用下，液体内部的压强随深度 h 线性增加；
2 在重力作用下的液体中，深度相同的各点静压强
亦相同。因此等压面是一水平面。
2.3.2 可压缩流体的静压强分布公式（略） 静水力学基本方程演示
（3）静压强分布规律 静压强基本公式中的积分常数C用平衡液体自由表 面上的边界条件：z=z0，p=p0来确定。于是有
p0 p z C z0 g g
移相，整理得：
（边界条件）
p p0 g ( z0 z) p0 gh
（h 淹入系数， h z0 z )
（2）右侧壁面受力
F2 1 gh A2 2
平面受力计算公式： F pc A
pc ：受力面形心点的压强
A ：受力面面积
（3）底面受力
F3 gh A3
2、积分法求总压力及作用点
（1）总压力
讨论与水平成 角的平面
dF pdA ghdA
F dF g hdA g sin xdA
真空度
2.4.3 静压强的测量
（1）测压管（最简单的液柱式测压计）
预测量容器（管道）中某点A压强， 在容器（管道）该点处开一个小孔， 接测压管（管内径一般大于5mm)， 液体在压强作用下升高，可测出高度 h ,继而得到A点的计示压强。 测压管测压计结构简单，测量准确。 但存在限制条件：1不能测气体压强； 2.管内压强要大于当地大气压；3.测 点A压强不能过高；
A点的总势能：z h 0；
h 根据静压强基本方程有： p g
可见可以用液柱高度表示单位 重力流体所具有的能量。
（2）静压强基本方程的几何意义 单位重力流体所具有的能量也可以用液 柱高度来表示，并称水头。
p g
Z
：位置水头
：压强水头
流体的静水头线和计示水头线
流体静力学基本方程几何意义：在重力作用下的连续均质不 可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。
欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用 的一个基本公式，因为在推导过程中， 质量力是空间任意方向，故它既适应 于绝对静止，也适于相对静止。同时 推导过程中也不涉及流体的密度是否 发生变化，故它不仅适应于不可压缩 流体，也适于可压缩流体。 流体静力学的一切其它计算公式都是 以它为基础面推导出来的。
矢量形式：f 1 gradp 0
2.2.2 欧拉平衡方程式的综合形式 由
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
1 p f x dx dx 0 x 1 p f y dy dy 0 y 1 p f z dz dz 0 z
由
dp ( f x dx f y dy f z dz)
能满足下述关系
W y
fz W z
若有函数 W W ( x, y, z)
fx W x
fy wk.baidu.com
有
( f x dx f y dy f z dz ) (
W W W dx dy ) dW x y z
流体静压强两个重要特性
流体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点的流体静压
强在各方向等值，即 px
py pz p 故 p p( x, y, z)
流体静压力的方向沿作用面的内法线方向。
§2.2流体平衡微分方程式 2.2.1 流体平衡微分方程式的导出
流体平衡微分方程导出示意图
从静止流体中取出一个边长为dx、dy、dz的微元平行六 面体，对其进行受力分析。
Fm ma m f am m m
作用在流体质点上的质量力 dFm dm am dm( f xi f y j f z k ) 其中： f x、f y、f z 是单位质量力在x、y、z轴上的投影
简称单位质量分力。
2.1.2 表面力
定义：作用在流体表面上，且与表面积大小 成正比 的力。 表面力分为两种：一种是沿着表面内法线方 向的压力，一种是沿着表面切向的摩擦力。 法向力（流体静压力）
第2章 流体静力学
研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。
平衡包括两种：
什么是平衡？ 1、绝对平衡：重力场中的流体平衡
流体对地球无相对运动； 2、流体的相对平衡 流体对运动容器无相对运动。
dV 0 dy
2.1.1 质量力
定义：作用在流体质点上，大小与流体质点质
量成正比的力，它是非接触力，有些教材也称
§2.3 重力场中的平衡流体
• 2.3.1 不可压缩流体的静压强基本公式 1 f x dx f y dy f z dz dp 综合方程： 现 故有：
C, f x f y 0, f z g
gdz
gz p
1
dp
积分有： p z C 即： g (静压强基本公式)