二次函数在给定区间的最值

1 2
-1 0
1
x
例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1] 上有最大值2，求实数a的值
y
a＜0 (2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2， ∴a=-1
-1 0
1
x
例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1] 上有最大值2，求实数a的值
y
a＞0
解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）
O 0 1
X=a
x
例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上的最大值.
y (3)当 a≥1 时 y的最大值为f(1)=4+a
0
1
X=a
x
例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上的最大值. 解：∵函数的对称轴为直线x=a y
⑴当a ≤ 0 时
0O1 x X=a
1 2 x 6 4, x 1, 4 的最大值和最小值。 4
1 2 y x 6 4, x 4, 7 的最大值和最小值。 2、求 4
3、求 y 4、求 y
1 2 x 6 4, x 5,8 的最大值和最小值。 4
(2)当 0＜ a＜1 时 y的最大值为f(a)=a2-a+1 1）当0＜ a ＜ y的最小值为f(1)=4+a
y
1 2
时，
O 0X=a 1
x
2）当1 ＞ a ≥
y
y的最小值为f(0)=1-a (3)当 a≥1 时 y的最大值为f(1)=4+a y的最小值为f(0)=1-a
1 时， 2
01
x
X=a
练习. 函数y x 2ax(0 x 1)的
2 2
对称轴为x a ,由于 ymax a , 故有0 a 1,
2
1 a 0.
[答案] D
四、定函数动区间
函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)上 的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达 式，并求出g(t)的最小值。
解：f(x)=(x-1)2-4 1)当t ＞ 1时，g(t)=f(t)=t2-2t-3 2)当t ≤ 1 ≤ t+1时，g(t)=f(1)=-4 3)当1 ＞ t+1时，g(t)=f(t+1)=t2-4
y
y的最大值为f(0) =1-a
(2)当 0＜ a＜1 时 y的最大值为f(a)=a2-a+1 (3)当 a≥1 时 y
O 0 1 X=a
x
y的最大值为f(1)=4+a
01
X=a
x
思考1：函数y =-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上的最大值为2，求a的值.
y
X=a
解：∵函数的对称轴为直线x=a ⑴当a ≤ 0时 当x=0时y的最大值为2 ∴a=-1 (2)当 0＜ a＜1时 当x=a时y的最大值为2
当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1]
- 0 1 x 1 y
a＜0
(1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， ∴a=
1 2
(2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2， ∴a=-1 综上所述：a=
1 2
或a=-1
- 0 1 x 1
三、定区间动轴动函数
X=a
1
x
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最值.
y (2)当 0＜ a＜1 时 y的最大值为f(a)=a2-a+1
1 1）当0＜ a ＜ 2 时，
y的最小值为f(1)=4+a O 0 1
X=a
x
2）当1 ＞ a ≥ y的最小值为f(0)=1-a
1 2 时，
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最值.
-3
-2 o y 4
3 1 x
X=-1 -12
二、定区间定轴动函数
例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1] 上有最大值2，求实数a的值
y
a＞0
解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）
当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1]
(1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， ∴a=
综上所述, a=1- 2 或 a=5+ 10.
回顾小结：
1、数学结合在求闭区间上二 次函数的最值中的应用 2、分类讨论在求闭区间上二次 函数的最值中的应用（含参数）
巩固练习： 1、已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上 有最小值g(a),求g(a)的函数表达式，并 求g(a)的最大值。 2、已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有 最大值3，最小值2，则实数m的取值范围 是 。 3、函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最 大值4，求实数a的值。
∴g(t)=
t2-2t-3 t＞1 -4 0≤t≤1 t2-4 t ＜ 0
-4
∴g(t)min=
五、动轴动区间
1.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
a 析:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时,由二次函数图象 a2 a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a (2)当a< 时,即-1<a<0时, 2 a x -1 o
例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上的最大值.
y 解：∵函数的对称轴为直线x=a ⑴当a≤0 时
y的最大值为f(0) =1-a
O 0
X=a
1
x
例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上的最大值.
y
(2)当 0＜ a＜1 时 y的最大值为f(a)=a2-a+1
2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0, 2]上有最小值 3, 求实数 a 的值. 解: 由已知 f(x)=4(x - a )2 - 2a+2. ∵f(x) 在区间[0, 2]上的最小 2 值为 3, ∴可分情况讨论如下: (1)当 a ≤0, 即 a≤0 时, 函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数. 2 ∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 2 . ∵a≤0, ∴a=1- 2. a (2)当 0< a <2, 即 0<a<4 时, f(x)min=f( 2 )=-2a+2. 2 由 -2a+2=3 得: a=- 1 (0, 4), 舍去. 2 a ≥2, 即 a≥4 时, 函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数. (3)当 2 ∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5 10. ∵a≥4, ∴a=5+ 10.
y 解：∵函数的对称轴为直线x=a 1）当＜ 2 时， y的最小值为f(1)=4+a O 0 1
X=a
1
x
1 2）当≥ 2 时，
y的最小值为f(0)=1-a
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最值.
y
解：∵函数的对称轴为直线x=a ⑴当a≤0 时 y的最小值为f(1) =4+a y的最大值为f(0) =1-a O 0
3
1 2
x
(4) 2 x a
练习：分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值 (1) R (2) 2 x 2 (3) 1 x 3 (4) 2 x a
①当-2≤
-2 a -1 O 2
y
x
a<-1时
ymax=-3,ymin=a2+2a-3
练习：分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值 (1)R (2) 2 x 2 (3) 1 x 3
-2
y
来自百度文库
a
-1 O
2
x
(4) 2 x a
①当-2≤
a<-1时
ymax=-3,ymin=a2+2a-3 ymax =-3, ymin=-4
②当-1≤
a ≤0时
练习：分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值 (1)R (2) 2 x 2 (3) 1 x 3 (4) 2 x a
1 2 x 6 4, x 9,11 的最大值和最小值。 4
开口向下的二次函数 在闭区间上的最大、最小 值受到哪些因素的影响？
一、定函数定区间
例1、求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的 最值
解：∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ∴函数的对称轴为直线x=-1 ∴ -2 ≤ -1≤ 3 ∴ 当x=-1时，y的最大值为f(-1) =4 当x=3时，y的最小值为f(3) =-12
0O1 x
y
O 0X=a 1
x
∴a=-1（舍去）
y
(3)当 a≥1时 当x=1时y的最大值为2
01
x
∴a=2
X=a
综上所述：a=-1或a=2
思考2：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最小值.
y y
y
X=a
0
O 1
x
O 0 1
X=a
x
0 1
X=a
x
思考2：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最小值.
①当-2≤ ②当-1≤ ③当a
y
-2
-1 O
a2
x
a<-1时
ymax=-3,ymin=a2+2a-3 ymax =-3, ymin=-4 ymax=a2+2a-3， ymin=-4
a ≤0时
>0时
问题：开口向上的二次函 数在闭区间上的最大、最 小值受到哪些因素的影 响？ 请讨论。
练习一 1、求 y
y (3)当 a≥1 时 y的最大值为f(1)=4+a y的最小值为f(0)=1-a 0
1
X=a
x
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最值. 解：∵函数的对称轴为直线x=a
y
X=a ⑴当a ≤ 0 时 y的最大值为f(0) =1-a
y的最小值为f(1) =4+a
0O1 x
闭区间上二次函数的最值
导航：
能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间 上二次函数最值
练习、分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值
(1) R ymin=-4，无最大值 ymax=12 ymin=0
-2
y
(2) 2 x 2 (3) 1 x 3
-1 O
ymax=5 ymin=-4
2
最大值是a , 则a的取值范围是 ( )
2
A. [0,1] B. [0,2] C. [2,0] D. [1,0]
[解析] y ( x a ) a ,
2 2
对称轴为x a ,由于 ymax a , 故有0 a 1,
2
1 a 0.
[解析] y ( x a ) a ,