第05章 空间机构的自由度分析

第5章空间机构自由度分析的约束螺旋求解法对机构最基本的认识是要知道它的自由度，机构的自由度计算原本是一个简单的问题，用传统的Kutzbach-Grübler公式[1-3]就可以获得正确的结果，而且仅仅基于算术运算。这个最基本的问

题几乎在所有的教科书上都有论述。

这里为什么还要论及呢？在机构学的发展历程中，发现了不少的机构不符合上述公式[4-5]。这种情况长期来倒还能容忍，到底当时该公式对于绝大多数机构还是适用的，特别是适用于众多的平面机构。但是在近十年来当空间机构研究迅速发展时，问题变得突出起来，传统的大家熟悉的这个公式常常算不出正确的结果，特别是在新世纪开始前后的这十年间，国际机构学界开展了少自由度并联机器人新机构的研究，这个不为人们重视的自由度计算却经常让人们迷惑，用公式常常不能够得到正确的结果。甚至到了新世纪的2002年，美国马里兰大学的Tsai教授在分析他发明一种3自由度并联机构时再次指出，如果用Kutzbach-Grübler公式计算该机构的自由

度数将会得到错误的结果[6]。这样，人们不得不采取其它麻烦的分析方法[7-11]，多花费了很多的时间。究其原因，认识到这是由于在机构中存在过约束（overconstrained）的缘故，约束被重复

计算了。许多人不断寻找新的普遍适用的机构的自由度计算公式，仅举文献[12-13]。人们提出过许多新概念，包括公共约束、虚约束等等。文献[14,15]还建议自由度公式中应采用机构螺旋系的“阶”。在这方面国内也有许多学者进行了有意义的研究，文献[16]以闭合约束数定义公共约束以确定阶，文献[17]以非线性代数方程组的相关性来判定机构的“秩”，然而他却是一个十分困难的求解问题。考虑“过约束”去对Kutzbach-Grübler公式加以修正，关键是如何分析过约

束，到这个新世纪开始，这个问题在国际上一直未能解决。还有一些学者甚至还采取如李代数和群论[18-20]等现代数学来探讨，也取得了一些进展。然而，李代数和群论的应用本身到更加使人感到迷茫，难道处理这种机构学中最基本最常见的问题，非得用这些普通科技人员很难懂的高深的现代数学吗？如果真是那样，将来也是难以推广应用，也不利于科技的发展。确实，自由度分析首先应保证正确，还特别要求尽可能的简单。

本文应用螺旋理论来处理这个问题，表现的比较简单。当黄真在1991年出版的著作[21]中就提出以反螺旋重新定义公共约束，进行了四杆机构的自由度的计算。这样的定义使公共约束有了明确的物理概念，便于计算，而且还方便地确定机构的阶。在1997年出版的专著[22]中进一步集中讨论了机构的自由度计算问题。除了以反螺旋定义公共约束外，特别是研究了在构成并联机构时出现的冗余约束，并分析了许多不同阶的过约束机构。在后来的许多关于少自由度新机型的研究中都应用了这个自由度的判别方法。最后文献[23]又归纳形成完整的“基于约束螺旋的求解自由度的新方法”。这个方法的特点在于它仅仅基于螺旋理论中的最简单部分，具有线性代数基础的科技人员都不难掌握，分析过程又简单、快捷。本章就介绍这种基于约束螺旋求解自由度的新方法。在只需要一只铅笔、一张纸，绝大多数情况下花费几分钟就能得到正确的答案。这种方法对广大的机械工程师将非常适用。本章最后还介绍机构实现确定运动的条件，讨

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论自由度与输入的关系。

关于自由度公式的发展，俄罗斯人有自己的看法。认为平面机构的自由度公式是切贝契夫

(Чебышев)[24,25]于1869年首先提出的；空间机构的自由度公式是马雷舍夫（Maлышев）提出的[24,25]。1953年阿尔托波列夫斯基(Apтоболевский)在他的书中就提出应考虑机构的过约束修正自由度公式[26]。俄罗斯人的追求值得尊敬。

5-1 机构自由度的Kutzbach-Grübler 公式

空间机构是由一系列构件用运动副连接而成的，分开环机构和闭环机构。闭环机构又分单

闭环机构和多闭环机构，以及既有开环又有闭环的混合式机构。多闭环机构还可分为并联机构

和任意闭环机构。开环机构的自由度计算比较简单，这里仅讨论一般形式的闭链机构及多环并

联空间机构的自由度计算问题。

若在三维空间中有n个完全不受约束的物体，任选其中的一个为固定参照物，由于每个物体

相对参照物都有6 个自由度，则系统中的n 个物体相对选

定的参照物共有6(n-1) 个自由度。若所有的物体之间都用

运动副连接起来，设第i 个运动副带来的约束为u i，由于

运动副的类型不同此约束可以是1 和5 之间的任何数，如

果运动副数目为g，则这时机构的自由度就是所有运动构

件总的自由度减去所有的约束数的总和，即

g

M =n −−∑

6( 1) u

i

i=1

这里M 表示自由度。在一般情况下，式中的u i 可以用（6-

f i ）代之，f i 为第i 个运动副的相对自由度数。这就是图5-1 空间3-RPS机构

Kutzbach-Grübler 公式[1-3]

(5-1)

g

=−−+∑

()

M 6 n g 1 f

i

i=1

对于平面机构有

g

M=3 n−g−1 + f (5-2)

()∑

i

i=1

可以看到，两者的差别仅是公式前面的系数。历史上许许多多的机构用这两个公式得出了正确

的结果。而且这个公式计算仅仅用了最简单的算术，确实是十分方便。

例5-1 计算图5-1所示的空间多环3-RPS机构[27]的自由度。在此机构的每个分支中都含有一个转

动副R、一个移动副P和一个球副S。由图可知该机构总的构件数n=8，运动副数g = 9。其中转动

副和移动副自由度都为1，球面副的自由度为3。所以按Kutzbach-Grübler 公式得到了正确的结

果