大学物理-常点领域内的幂级数解法
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7.2 常点邻域内的幂级数解法 (勒让德方程的求解)
要求：参阅梁昆淼《数学物理方法》(第三版)第五章 P88-91 目的：(1) 比较幂级数与傅里叶级数；
(2) 傅里叶级数的正交性、完备性。
连带勒让德方程：
(7-2-1)
m = 0 时为勒让德方程：
(7-2-2)
方程 (7-2-1) 的来源：在球坐标系中用分离变量法解方程拉 普拉斯方程而得到
|x| > 1 就不存在发散问题。
关键：当 = 0 , 时， x = ±1，此时级数解发散。这
是个严重的问题！
Baidu Nhomakorabea
(7-2-4)
改变 (7-2-4) 式中左边第一项的求和指标：
代入 (5-2-4) 式，有
上式为恒等式：在 x = 0 的邻域内成立，故有 得到系数递推公式：
(7-2-5)
从而
(7-2-6)
由上式，可以看到，偶次幂项的系数可用 C0 来表示，而 奇次幂项的系数可用 C1 来表示，即
因此，方程的通解可写成
1. 勒让德方程的级数解 在 x = 0 的邻域内采用级数解法求解勒让德方程。
由 7.1 节二阶线性齐次常微分方程的标准形式可知
因为 p(x)、q(x) 在 x = 0 点解析，所以 x = 0 是方程的常点， 则方程的解具有以下形式
(7-2-3) 代入 (7-2-2) 式，得到 [注：(1–x2) 与 x 已是幂级数形式]
其中： (两个线性无关的特解)
y0(x)、y1(x) 的收敛半径均为
即两级数在 |x| < 1 内收敛，当 |x| > 1 发散，而当 x = ±1
时发散。对于 x = cos ，当 0 < < 时，|x| < 1 在收敛
区域；而 |x| = |cos | 不可能大于1，因此 y0(x)、y1(x) 在
要求：参阅梁昆淼《数学物理方法》(第三版)第五章 P88-91 目的：(1) 比较幂级数与傅里叶级数；
(2) 傅里叶级数的正交性、完备性。
连带勒让德方程：
(7-2-1)
m = 0 时为勒让德方程：
(7-2-2)
方程 (7-2-1) 的来源：在球坐标系中用分离变量法解方程拉 普拉斯方程而得到
|x| > 1 就不存在发散问题。
关键：当 = 0 , 时， x = ±1，此时级数解发散。这
是个严重的问题！
Baidu Nhomakorabea
(7-2-4)
改变 (7-2-4) 式中左边第一项的求和指标：
代入 (5-2-4) 式，有
上式为恒等式：在 x = 0 的邻域内成立，故有 得到系数递推公式：
(7-2-5)
从而
(7-2-6)
由上式，可以看到，偶次幂项的系数可用 C0 来表示，而 奇次幂项的系数可用 C1 来表示，即
因此，方程的通解可写成
1. 勒让德方程的级数解 在 x = 0 的邻域内采用级数解法求解勒让德方程。
由 7.1 节二阶线性齐次常微分方程的标准形式可知
因为 p(x)、q(x) 在 x = 0 点解析，所以 x = 0 是方程的常点， 则方程的解具有以下形式
(7-2-3) 代入 (7-2-2) 式，得到 [注：(1–x2) 与 x 已是幂级数形式]
其中： (两个线性无关的特解)
y0(x)、y1(x) 的收敛半径均为
即两级数在 |x| < 1 内收敛，当 |x| > 1 发散，而当 x = ±1
时发散。对于 x = cos ，当 0 < < 时，|x| < 1 在收敛
区域；而 |x| = |cos | 不可能大于1，因此 y0(x)、y1(x) 在