3.3二阶系统的时间响应

但响应愈快;
= 0时，出现等幅振荡。
第三章
控制系统的时域分析
几点结论：
工程中除了一些不允许产生振荡的应用， 如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻 尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间， 以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应 的快速性越好。
即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。
x o ( t)
0 -1<<0
特点：振荡发散
x o ( t) t
0
<-1
特点：单调发散
t
第三章
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
控制系统的时域分析
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
第三章
控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析 欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算: 1 上升时间 t r
xo (t ) [1 e nt 1
2
sin(d t arctan
1 2

)]1(t )
当 t t r 时，
1 1 e ntr 1
第三章
控制系统的时域分析
3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，
可得
s 2n s 0
2 2 n
2
s1 , s2 n n 1
( 1)
2
n jn 1
( <1)
j
第三章
s1
控制系统的时域分析
2
xo (tr ) 1
sin(d tr arctan 1 2

)0
)
sin(d tr arctan
1 2

由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故
d tr arctan
1 2


第三章
tr 1
控制系统的时域分析
1 2 ) 1 ( arccos )
第三章
控制系统的时域分析
3.3.4时域分析性能指标
系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率 域里提出，时域内的比较直观。 瞬态响应性能指标包括： （1）上升时间 t（ r Rise Time） ：响应曲线从零时刻 到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升 到达稳态值所需的时间。 （2）峰值时间 t p （Peak Time） ：响应曲线从零时刻到 达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所 需的时间。 （3）最大超调量 M （ p Maximum Overshoot） ：单位阶跃 输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百 分数表示。
X 0 ( s) n 2 1 X 0 (s) X i (s) X i ( s) (s n jd )(s n jd ) s
s n n 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d
xo (t ) (1 e
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 nt
7
8
9
10 11 12
不同ξ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图
第三章
控制系统的时域分析
几点结论： 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：
< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；
0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
n 2 X 0 ( s) n 2 2 2 (s n jd )(s n jd ) X i (s) s 2n s n
共扼复根:
s1,2 n jn 1 2
j
令:
d n 1 2
称为有阻尼振荡角频率

第三章
控制系统的时域分析
第三章
控制系统的时域分析
特点： 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 xo () = 1，无稳态误差
第三章
控制系统的时域分析
X i ( s)
4.零阻尼情况（ 0） X 0 (s)
n 2 n 2 2 2 2 s 2n s n s n 2
1 1 s X 0 ( s) 2 2 2 s n s s s n 2
d
( arctan

1
n 1
( )
2
tr
1
d
( )
n 1
2
结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr 越长； 当阻尼比一定时，n 越大，则tr 越短。
第三章
控制系统的时域分析
xo (t ) [1 e nt 1 2 sin(d t arctan 1 2 )]1(t )
2 A2 X ( s )( s ) n o s n n
n 2 n 1 1 1 X o ( s) 2 (s n ) s s s n (s n )2
第三章

控制系统的时域分析
单位阶跃响应为
xo (t ) 1 ent (1 nt )
dxo (t ) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
第三章
控制系统的时域分析
特点：
单调上升，无振 荡、无超调； xo () = 1，无 稳态误差。
第三章
控制系统的时域分析
3.过阻尼(ξ>1)
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n X o ( s) 2 2 s( s 2n s n ) s( s s1 )(s s2 )
第三章
控制系统的时域分析
3.3 二阶系统的瞬态响应
3.3.1 二阶系统数学模型及其标准形式 凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
2 n 开环: G( s) 2 s 2n s
闭环:
2 X o ( s) n 2 2 X i ( s) s 2n s n
令：T
式中
d t p
d t p d n 1 2
第三章 控制系统的时域分析 3 最大超调量 M p
nt p e M p xo t p 1 1 2 1

1 cos sin 1
2
第三章
控制系统的时域分析
3.3.4时域分析性能指标
（4）调整时间 t s （Settling Time） ：响应曲线达到并 一直保持在允许误差范围内的最短时间。 （5）延迟时间 t d （Delay Time） ：响应曲线从零上升 稳态值50％所需的时间。 （6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。 常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振 荡次数。 上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统 的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳 定性。
2 峰值时间 t p

当 t t p 时，
n e
n t p 2
dxo (t ) dt
0
1
sin(d t p )
d e
n t p 2
1
cos(d t p ) 0
1 2 d tan(d t p ) tan n
(3)ξ 越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越 低）。
第三章
控制系统的时域分析
2. 临界阻尼(ξ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A A2 1 X o ( s) 2 s( s n ) s s n ( s n ) 2
A0 1
d 2 A1 X o (s)(s n ) 1 ds s n
cos
1 2 )]1(t )
1

1 2
sin(d t arctan


式中: 1 2 —有阻尼振荡角频率； d n
n
arctan
—衰减指数；
1 2

——滞后角度。
第三章
控制系统的时域分析
s1

n 1 2
n
β
s2
第三章
控制系统的时域分析
讨论: (1) 欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减 的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对 值ξωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值， 即有阻尼自振角频率ωd，
d n 1 2
2 (2)振荡周期为 T 2 d d n 1 2
nt
cosd t

1
2
ent sin d t ) 1(t )
第三章
控制系统的时域分析
e nt 1
2
即：xo (t ) [1
( 1 2 cos d t sin d t )] 1(t )
sin 1 2
xo (t ) [1 e nt 1 2
A0 X o (s)ss0 1
A 1 X o ( s )( s s1 ) s s
1
A0 A1 A2 s s s1 s s2
1 2 2 1( 2 1)
A2 X o ( s)( s s2 )s s
2
1 2 2 1( 2 1)
(2). 临界阻尼 1
s1, s2 n
(3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1 , s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
第三章
控制系统的时域分析
3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是

Mp e
n (
n 1 2
n 2
x0 (t ) 1 cos nt t 0
这是一条平均值为1的余弦形式等幅振荡，其振荡频 率为 n －故称为无阻尼振荡频率。
控制系统的时域分析 5.负阻尼情况（ 0）
分析方法与正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尼情况类似，只是其响应表达式的指
第三章
数项变为正指数，故随着时间 t 时，其输出 x0 (t ) ，
第三章

控制系统的时域分析
拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
xo (t ) 1
1 2 2 1( 2 1)
1 e
e
( 2 1)nt

( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
(t 0)
稳态分量：1 瞬态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递 函数极点确定。
1

n
n ——无阻尼振荡角频率。 ——阻尼系数，
X o ( s) T2 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
第三章
控制系统的时域分析
典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和
积分环节串联的单位负反馈系统。
RLC电路、电动机转速控制系统
K1 K 2


2 n
1

2n
j
[s]
2
j
[s]
j n 1
n 0

2
s1 s 2
n
0

s2
j n 1
(a) 0 1
j
(b) 1
[s]
j
[s]
s1
s1
s2
n
0

s2
0

(c) 1
(d) 0
第三章
控制系统的时域分析
(1). 欠阻尼
0 1
s1 , s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。
1 X ( s) s
xi (t ) 1(t )
2 n 1 X o ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
xo (t ) L [ X o (s)]
下面按阻尼比分别讨论。
1
第三章
控制系统的时域分析
1.当 0 1 时，称为欠阻尼

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t ) xi (t ) xo (t ) ent (1 nt ) e() 0
单位阶跃响应的变化率为：
dxo (t ) 0 dt t 0 dxo (t ) 0 dt t 0
dxo (t ) 2 n t n te dt