矩形截面梁运动控制方程的建立
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h h h w, ， w, xxx 3 w, ， w, xxxx 4 w, 3 l l l
w, xxx
u ,0 tt
Ah 2 Ah 2 ， u w w, ,tt , l 4 0 l 4 0
,tt
A l 0
3
, ， ,ttx
12
w, q0
（2-21）
12
,tt
（2-15）
将（2-15）式代入（2-14）式得
w, x Ts M x, x
C
1
0h3
12
,tt
（2-16）
式（2-16）中， Ts 为跟踪常数， Ts 0 表示不考虑横向剪切变形， Ts 1 表示横向 剪切变形被考虑。 将应力表达式（2-5）代入方程（2-11）可得用位移表示的梁的运动微分方程 形式
（2-5） （26）
及
Q x C xz
式中
A——梁的薄膜刚度； D——梁的弯曲刚度；
C Gh ,G 是梁的横向剪切刚度。
且
0 0 x , k 0 ,x
2．2．2
Reissner 变分原理及其应用
(1) 弹性体（梁）运动（平衡）微分方程 采用 Reissner 变分原理建立弹性体（梁）的运动平衡微分方程，以及相应边界 条件，首先引入 Reissner 函数
2.1 梁的理论及其应用
建立并研究如下图所示的矩形截面梁，假设截面高度 h 和截面宽度 b 的尺寸都 远远小于梁的长度 l ，同时假设梁的上表面承受横向均布荷载 qx 。
图 1 梁的模型图
则我们可以写出梁在直角坐标系下的位移场为
u u 0 ( x, t ) z ( x, t ) w w( x, t )
0 0 h3 b h u u w w ,tt dx 2 l 0 ,tt ,tt 12
（2-9）
又令 N x 、 N xz 和 M x 是已经给定的沿梁的周边所施加的外力和外力矩，则（27）式右边第三项变为
b q( x, t )wdx (Nu
2.2.1 基本方程的推导 (1) 建立梁的几何方程 分析过程中考虑梁的几何非线性因素，则根据经典非线性弹性理论，梁内任 一点在某一瞬时的应变可由格林应变张量 来描述，其在笛卡儿坐标系中的分量形 式为：
ij
则有
1 (ui , j u j ,i u k ,i u k , j ) 2
0h
u ,0 tt
（2-17）
2．3 方程的无量纲参数化
下面引入无量刚量
u0 w x t h ，u ， w ， ， 2 h l h l l
Ah / 0 ，则
u ,0x w, x
h h u , ， u ,0xx 2 u , l l
1 h h w, ， w, xx 2 w, ， , xx , l hl l
（2-2）
0 0 x x zk x 0 xz xz
（2-3）
其中
0 x u,0x w,2x 0 xz
1 2 w, x
而扭率
0 0 kx w, xx 。 ,x ，对浅梁有 k x
(2) 建立弹性体（梁）的本构关系
根据经典梁理论，其在笛卡儿坐标系下的广义内力可定义为
M x , xx N x w, x , x
0 h3
12
,ttx 0 hw,tt q
（2-13）
又将几何方程（2-3）中 xz 的表达式代入本构关系（2-6）中得
Qx C w, x
由（2-11）中的第三式有
Qx M x , x
（2-14）
0 h3
TS =0 和 x dx 0 ，并令 u,0, w, 2
（2-19） （2-20）
将（2-19）和（2-20）式代入到（2-18）中的第二式得到梁考虑几何非线性影响的 横向运动控制方程
2 w, w, 3w, w,
式中
u 0 ( x, t ) ——梁中线沿 x 方向的位移。
（2-1）
w( x, t ) ——梁中线沿 z 方向的位移。
u ——梁沿方向的位移。
w ——梁 z 方向的位移。
( x, t ) ——梁的横向扭转角，且对浅梁有
( x, t )
w( x, t ) x 。
2．2 梁的运动控制方程的推导
3 l S
0
M )ds
（2-10）
根据 Reissner 变分原理，有 0 ，即
1 2 3 ) 0
将（2-8）、（2-9）、（2-10）式代入上式，并结合上文的推导，可解得用 应力表示的梁的运动（平衡）微分方程
Qx , x N x w, x , x 0 hw,tt q M x , x Qx
V
ij
ij B( ij )dV f i ui dV pi ui dS
V A
（2-7）
式中 B( ij ) 弹性体的余能密度， fi 为沿坐标 i 方向上每单位体积内的体积力， pi 为 沿坐标 i 方向上每单位面积所承受的表面力，V 为弹性体所占的空间， S 为弹性体 表面上面力已被给定的那部分面积。 若设梁高为 h ，梁的质量密度为 0 ，梁在上表面承受分布荷载 q( x, t ) 。将以 上（2-1）、(2-3)、(2-4)、(2-5)各式代入（2-7）,并对其沿高度积分后，（2-7）式 右边第一项变为
及相应的边界条件
Nx Nx 或 u u0 或 ww
N x , x 0 hu,0 tt
（2-11）
0 h3
12
,tt
Qx N x w, x N xz Mx Mx 或
（2-12）
上式中， u 0 、 w 和 分别为梁中面边界上的已知位移和转角。 将（2-11）中的第三式对 x 求导，则可求出 Qx, x ，代入（2-11）中的第二式， 可得出梁的横向运动控制方程
N x h x dz
2
h 2 h 2
M x h x zdz
2
（2-4）
Qx h xz dz
2
h 2
式中
N x ——梁的轴向力； M x ——梁所承受的弯矩； Qx ——梁所承受的横向剪力。
则弹性体（梁）的本构关系可表示为如下形式
0 N A 0 0 M 0 D k
A A 0 A 3A w, xxxx u , x w, xx u ,0xx w, x w, xx w,2x D D 2D 3 h q h 0 w,tt 0 ,ttx D D 12 D D 0h3 w, x Ts , xx ,tt 12C C u ,0xx w, xx w, x
矩形截面梁运动控制方程的建立
在建立控制微分方程的时候，本文主要应用了弹性力学中的能量变分原理和 Reissner 原理。 （1）能量变分原理 弹性梁的非线性振动问题在数学上要通过积分控制方程来精确求解是相当困 难的，且大多数情况下不能求得精确解。因此，人们就致力于用能量变分法或其 他方法来近似求解，而避免了控制微分方程的困难。能量变分法有两种用处，一 是可以用能量泛函通过变分近似求解薄板的各种边值问题，而无需建立板的控制 微分方程。二是薄板的控制微分方程及边界条件可以通过那难量法来建立，特别 是疑难的边界条件，如自由边的边界条件就是克希霍夫用能量法建立的。能量变 分法是近似解法中最有成效的方法之一，而且，它是半解析法和有限元等数值计 算方法的理论基础。对于能量变分法，它的本质其实就是把求解弹性力学的基本 方程的定解问题，变化成求泛函数的极大极小值（或驻值）问题。而在求解问题 的近似解的时候，泛函数的极大极小值（或驻值）问题又进而变为函数的极大极 小值（或驻值）问题。最后可以把问题归纳总结为求解线性代数方程组的问题。 （2）Reissner 原理 如果弹性体处于运动状态，则根据达朗贝尔原理，在个质点上加上惯性力 后，就可以将运动问题当作静力问)题来处理。
T 0 N Qx xz 1 bl M 0 k
1 N 2 M
T
A 0
0 N 1 Qx GQx D M 2
1
dx
（2-8） 又根据达朗贝尔（Dalembert J be.R）原理，将惯性力 ui ,tt 当作分布力，而忽略质 量体力，则(2-7)式第二项变为
A l 0
4
,
将以上各式代入（2-17）式并整理得到
u, w, w, 2u,
3 2 u , w, u , w, w, w, 2 q 0 w, , 12
w,
（2-18）
2 w, TS ,
3
12
,
其中：
G
h D ql 3 Ah 2 Eh 3 A A Eh , , ， ， , ， , q D 0 l D Gl D Ghl 2 12(1 2 )
E 。 2(1 )
现对（2-18）式进行必要的简化处理。不考虑梁的剪切变形和纵向伸长，即
w, xxx
u ,0 tt
Ah 2 Ah 2 ， u w w, ,tt , l 4 0 l 4 0
,tt
A l 0
3
, ， ,ttx
12
w, q0
（2-21）
12
,tt
（2-15）
将（2-15）式代入（2-14）式得
w, x Ts M x, x
C
1
0h3
12
,tt
（2-16）
式（2-16）中， Ts 为跟踪常数， Ts 0 表示不考虑横向剪切变形， Ts 1 表示横向 剪切变形被考虑。 将应力表达式（2-5）代入方程（2-11）可得用位移表示的梁的运动微分方程 形式
（2-5） （26）
及
Q x C xz
式中
A——梁的薄膜刚度； D——梁的弯曲刚度；
C Gh ,G 是梁的横向剪切刚度。
且
0 0 x , k 0 ,x
2．2．2
Reissner 变分原理及其应用
(1) 弹性体（梁）运动（平衡）微分方程 采用 Reissner 变分原理建立弹性体（梁）的运动平衡微分方程，以及相应边界 条件，首先引入 Reissner 函数
2.1 梁的理论及其应用
建立并研究如下图所示的矩形截面梁，假设截面高度 h 和截面宽度 b 的尺寸都 远远小于梁的长度 l ，同时假设梁的上表面承受横向均布荷载 qx 。
图 1 梁的模型图
则我们可以写出梁在直角坐标系下的位移场为
u u 0 ( x, t ) z ( x, t ) w w( x, t )
0 0 h3 b h u u w w ,tt dx 2 l 0 ,tt ,tt 12
（2-9）
又令 N x 、 N xz 和 M x 是已经给定的沿梁的周边所施加的外力和外力矩，则（27）式右边第三项变为
b q( x, t )wdx (Nu
2.2.1 基本方程的推导 (1) 建立梁的几何方程 分析过程中考虑梁的几何非线性因素，则根据经典非线性弹性理论，梁内任 一点在某一瞬时的应变可由格林应变张量 来描述，其在笛卡儿坐标系中的分量形 式为：
ij
则有
1 (ui , j u j ,i u k ,i u k , j ) 2
0h
u ,0 tt
（2-17）
2．3 方程的无量纲参数化
下面引入无量刚量
u0 w x t h ，u ， w ， ， 2 h l h l l
Ah / 0 ，则
u ,0x w, x
h h u , ， u ,0xx 2 u , l l
1 h h w, ， w, xx 2 w, ， , xx , l hl l
（2-2）
0 0 x x zk x 0 xz xz
（2-3）
其中
0 x u,0x w,2x 0 xz
1 2 w, x
而扭率
0 0 kx w, xx 。 ,x ，对浅梁有 k x
(2) 建立弹性体（梁）的本构关系
根据经典梁理论，其在笛卡儿坐标系下的广义内力可定义为
M x , xx N x w, x , x
0 h3
12
,ttx 0 hw,tt q
（2-13）
又将几何方程（2-3）中 xz 的表达式代入本构关系（2-6）中得
Qx C w, x
由（2-11）中的第三式有
Qx M x , x
（2-14）
0 h3
TS =0 和 x dx 0 ，并令 u,0, w, 2
（2-19） （2-20）
将（2-19）和（2-20）式代入到（2-18）中的第二式得到梁考虑几何非线性影响的 横向运动控制方程
2 w, w, 3w, w,
式中
u 0 ( x, t ) ——梁中线沿 x 方向的位移。
（2-1）
w( x, t ) ——梁中线沿 z 方向的位移。
u ——梁沿方向的位移。
w ——梁 z 方向的位移。
( x, t ) ——梁的横向扭转角，且对浅梁有
( x, t )
w( x, t ) x 。
2．2 梁的运动控制方程的推导
3 l S
0
M )ds
（2-10）
根据 Reissner 变分原理，有 0 ，即
1 2 3 ) 0
将（2-8）、（2-9）、（2-10）式代入上式，并结合上文的推导，可解得用 应力表示的梁的运动（平衡）微分方程
Qx , x N x w, x , x 0 hw,tt q M x , x Qx
V
ij
ij B( ij )dV f i ui dV pi ui dS
V A
（2-7）
式中 B( ij ) 弹性体的余能密度， fi 为沿坐标 i 方向上每单位体积内的体积力， pi 为 沿坐标 i 方向上每单位面积所承受的表面力，V 为弹性体所占的空间， S 为弹性体 表面上面力已被给定的那部分面积。 若设梁高为 h ，梁的质量密度为 0 ，梁在上表面承受分布荷载 q( x, t ) 。将以 上（2-1）、(2-3)、(2-4)、(2-5)各式代入（2-7）,并对其沿高度积分后，（2-7）式 右边第一项变为
及相应的边界条件
Nx Nx 或 u u0 或 ww
N x , x 0 hu,0 tt
（2-11）
0 h3
12
,tt
Qx N x w, x N xz Mx Mx 或
（2-12）
上式中， u 0 、 w 和 分别为梁中面边界上的已知位移和转角。 将（2-11）中的第三式对 x 求导，则可求出 Qx, x ，代入（2-11）中的第二式， 可得出梁的横向运动控制方程
N x h x dz
2
h 2 h 2
M x h x zdz
2
（2-4）
Qx h xz dz
2
h 2
式中
N x ——梁的轴向力； M x ——梁所承受的弯矩； Qx ——梁所承受的横向剪力。
则弹性体（梁）的本构关系可表示为如下形式
0 N A 0 0 M 0 D k
A A 0 A 3A w, xxxx u , x w, xx u ,0xx w, x w, xx w,2x D D 2D 3 h q h 0 w,tt 0 ,ttx D D 12 D D 0h3 w, x Ts , xx ,tt 12C C u ,0xx w, xx w, x
矩形截面梁运动控制方程的建立
在建立控制微分方程的时候，本文主要应用了弹性力学中的能量变分原理和 Reissner 原理。 （1）能量变分原理 弹性梁的非线性振动问题在数学上要通过积分控制方程来精确求解是相当困 难的，且大多数情况下不能求得精确解。因此，人们就致力于用能量变分法或其 他方法来近似求解，而避免了控制微分方程的困难。能量变分法有两种用处，一 是可以用能量泛函通过变分近似求解薄板的各种边值问题，而无需建立板的控制 微分方程。二是薄板的控制微分方程及边界条件可以通过那难量法来建立，特别 是疑难的边界条件，如自由边的边界条件就是克希霍夫用能量法建立的。能量变 分法是近似解法中最有成效的方法之一，而且，它是半解析法和有限元等数值计 算方法的理论基础。对于能量变分法，它的本质其实就是把求解弹性力学的基本 方程的定解问题，变化成求泛函数的极大极小值（或驻值）问题。而在求解问题 的近似解的时候，泛函数的极大极小值（或驻值）问题又进而变为函数的极大极 小值（或驻值）问题。最后可以把问题归纳总结为求解线性代数方程组的问题。 （2）Reissner 原理 如果弹性体处于运动状态，则根据达朗贝尔原理，在个质点上加上惯性力 后，就可以将运动问题当作静力问)题来处理。
T 0 N Qx xz 1 bl M 0 k
1 N 2 M
T
A 0
0 N 1 Qx GQx D M 2
1
dx
（2-8） 又根据达朗贝尔（Dalembert J be.R）原理，将惯性力 ui ,tt 当作分布力，而忽略质 量体力，则(2-7)式第二项变为
A l 0
4
,
将以上各式代入（2-17）式并整理得到
u, w, w, 2u,
3 2 u , w, u , w, w, w, 2 q 0 w, , 12
w,
（2-18）
2 w, TS ,
3
12
,
其中：
G
h D ql 3 Ah 2 Eh 3 A A Eh , , ， ， , ， , q D 0 l D Gl D Ghl 2 12(1 2 )
E 。 2(1 )
现对（2-18）式进行必要的简化处理。不考虑梁的剪切变形和纵向伸长，即