第10章：定量预测4-趋势外推法讲解

函数图形
Yˆ

t

a
ln
b
b
t
Yˆ

t

aln
b2
bt
• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值， 因为当接近某一极限值时，特性值已不按指数规 律增长。在产品导入期阶段，产品需求增长很慢， 而随着时间的推移，社会需求不断增大，产品在 早期的市场中也逐渐完善起来，因而需求量会快 速增加，当产品的市场容量接近市场上限时，需 求量的增长速度就会慢下来。产品市场发展的全 过程就会经历发生、发展、成熟和衰退四个阶段， 而这正是生长曲线所能描述的。生长曲线又称S 曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀兹 曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟 期商品的预测。
• 例子：某企业某种产品1996~2002年市场 销售量资料如下，试利用趋势外推法对这 种产品进行预测。直线模型实例
• 当数据量较小，可以采用手工算法。这涉 及到将t进行一下处理。奇数和偶数项
• （二）二次曲线趋势外推法
• Y=b0+b1t+b2t2
• 例子：某商店某种产品的销售量如表所示，试预 测1999年的销售量，并要求在90%的概率保证度 下，给出预测的置信区间。(y-t0.10SE, y+t0.10SE),
• t值结合自由度n-p查询。
• 二次曲线实例数据
• 步骤：1选模型 ：①散点图②计算差分
•
2 求模型参数。
• 估计标准误差SE:

n

i Βιβλιοθήκη (YiYˆi2
)
n p
其中，n为时间序列的长度，p为限制条件，即利用最小二乘法时的所列方程 数，可以简单理解为直线模型为2，抛物线模型为3，三次曲线为4，最高次 数加1。
第四节 ：趋势外推法
一 含义及假定条件
• 当预测对象随着时间呈现某种水平、上升 或下降的趋势，并且无明显的季节波动， 又能找到一条合适的曲线反映这种变化趋 势时，就可用时间t为自变量，时序数值y为 因变量，建立趋势模型：y=f(t)
• 注意假设条件（1）预测目标的发展变化过 程没有跳跃，属于渐进变化。（2）决定过 去事物发展的因素在很大程度上仍决定事 物未来的发展。连续性原理
• 三次曲线趋势外推法：步骤同二次曲线， 实例数据见三次曲线
• 多次曲线趋势外推法：同理 • 计算时可利用power（number，power）
如：12896 =？ 解法：可输入power（1289，6）求得。
四 指数曲线预测模型
yˆt aebt (a 0)
参数a为时间序列的初期水 平，必须大于0。 参数b为时间序列的平均发 展速度，可以为正，负值。
二 趋势模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推 法的首要工作，基本方法有两种： 1 图形识别法 2 差分计算
1 直线， 指数 ，二次抛物线， 三次曲线等模型的图形
直线
二次抛物线
三次曲线
指数
2差分法
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史数据计 算差分把数据修匀，将非平稳时间序列转换为平 稳序列，通过该平稳序列的表现，来发现该套用 那个模型。
• 参数a，b的确定：通常将指数曲线方程式 化为直线形态后求出(两边求对数LN)。
• 该曲线模型的判定方法：时间序列逐期增 长率大体相同，几乎按同一比例增减（又 称一阶差比率大致相等。）。
• 这种曲线模型能够对产品、技术发展的早 期阶段进行合理的描述。
• 例如：某商品投入市场以来，1989—1997年的 市场需求统计资料如下所示，预测1998年的需 求量？（Excel数据演示）
年份 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
总需求 50.0 量
60.0 68.0
69.9 71.1 71.7 72.3 72.8 73.2
Y=73.174-22.272x0.5556t
市场极限
利用修正指数曲线模型，可以判断一 种产品的市场是否达到发展极限，一般说 来，发展速度慢时，表明冰箱已经接近有 效市场的上限，如果企业只生产一种产品， 就要考虑开发其它业务。所以该法一般适 用于“某些新商品，需求量变化为初期迅 速增加，一段时间后逐渐减少，且增长的 环比速度大体相等，最后趋向于某一个正 的极限常数。”
• 假设时间序列为yt （t=1 ,2，3 ……，n）
• 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 • 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 • 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 • 多阶以此类推
• 如果在序列中发现一阶向后差分为常数， 则套用线性模型。二阶为常数，套用二次 抛物线模型，三阶为常数，套用三次曲线 模型。EXCEL演示
六 生长曲线模型
一、Gompertz曲线 模型形式：yˆ kabt 数学特点：对数的一阶 差分的环比为常数
龚珀兹曲线可用于各个周期阶段商品的预测， 特别适合处于成熟期商品的预测。
龚珀兹（Gompartz）：英国统计学家和数 学家（1779~1865），他在研究控制死亡 率问题时提出了一种曲线，多用于新产品 的研制、发展、成熟和衰退的分析。
三 多项式曲线趋势外推法
• 一般形式为： • Y=b0+b1t+b2t2+b3t3+…… +bktk • 其中：Y预测目标变量，t为时间，b为待定
系数 • 当K=1时，为线性模型，K=2时，为二次抛
物线模型，当K=3时，为三次多项式趋势模 型
• （一）线性趋势外推法：
• 散点图呈线性趋势y=a+bt
五 修正指数曲线预测模型
模型形式：Yˆt k abt 式中：t为时间，k、a、b为参数
k 0,0 b 1
特点：一阶差分的环比为常数b
t t 1

Yˆt Yˆt1 Yˆt1 Yˆt2
b
待定系数a，b，k的求法采用“三段和值法”进行。
例如：某商品1989-1997年的销售资料如下所 示，预测1998年的销售量？
年份
总需 求量
1989 165
1990 270
1991 450
1992 740
1993 1220
1994 2010
1995 3120
1996 5460
1997 9000
指数曲线适合于市场初期，中后期就 不再适用，否则将达到一个荒谬的程度。因 为每一种产品的市场都有一个极限，愈接近 市场极限，市场发展速度就愈慢，不可能按 指数规律无限外推，于是便出现了所谓的修 正指数曲线模型。