非线性混沌现象

xn1
F
(
xn
)
yn
1
bxn
axn2
,b 0.3, a 1.4
表示成复合形式F ( x) T3 oT2 oT1( x)
x
bx
y
T1
(
x)
y
1
ax2
,T2
(
x)
y
,
T3
(
x
)
x
T2
横向压缩
T1
纵向拉伸
T3
Henon吸引子 吸引子的自相似性
Lauwerier映射
xn1
G(
引起的垂直方向温差对线性情况的偏离。 σ, b, r为无量纲正
的参数，σ－普朗特数，b－雷诺数。
Lorenz系统平衡点稳定性
f1( x) (x y) 0 x y
f2 ( x) rx y xz 0 x(r 1 z) 0 f3( x) bz xy 0 x2 bz
系统有三个平衡点
请看演示……
（1）Lorenz系统轨道动态演化过程
（2）t＝0时刻从相邻状态出发的两条轨道 的演化规律
x(0) x(0), y(0), z(0)
x(0) x(0) Δx / Δx
Lorenz系统混沌运动特点
系统状态点围绕着两个不稳定平衡点不断作往复运 动，且这种往复过程没有简单规律可循，无法对系 统的长期运动行为进行预测。
S
r
球面 M：
r 2
O
V (x) x2 y2 z r 2 R2
任意 V ( x) R ，有 x M； Y
若V ( x0 ) R2，则 x0 S，从而
X
V&( x0 ) 0, 当 t ，V (t ( x0 )) ，直到 V (t ( x0 )) R2
Lorenz系统在有界区域内运动特征
-3
-4
-5
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
讨论内容之二
离散系统中的混沌运动行为
映射与离散动力系统
连续系统离散时间采样
x& f ( x), x(t0 ) x0, x ¡ n x(t) t ( x0 )
令tn nT , xn x(tn ) ¡ n，得到离散动力系统
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
x0 x0 0.011,1,1 T =1.91秒
20
x 0
-20
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
50
y0
-50
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
60
z
40
20
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
x0 x0 0.00011,1,1 T =7.29秒
xn1
tn1
0t
( x0 )dt
x(tn )
T
0 t ( xn )dt
记为xn1 G( xn ), xn ¡ n
Poincáre映射
x&
f (x), x ¡
n xn1 xn
0
(
xn
)
t
(
xn
)dt
yn1 G( yn ), yn ¡ n1
由连续动力系统经离散时间采样和作庞加莱截 面所生成的离散映射必然为可逆映射，该映射 生成离散动力系统。
考察M内相距足够接近的两个初值点x0和x0 ,从这
两点出发的系统轨道t ( x0 )和t ( x0 )的相似性，它
们之间距离随时间的变化.
举例：任意选取初值 x0 (3.9723,1.9455,25.1582)
(1) x0 x0 0.011,1,1
x0 x0 1.73102
(2) x0 x0 0.00011,1,1
x (1) e
0, 0, 0
x(2) e
b(r 1), b(r 1), r 1
x(3) e
b(r 1),
b(r 1), r 1
Lorenz系统平衡点稳定性
平衡点处线性化矩阵
A r ze ye
0
1
xe
xe b
当 10, r 28,b 8 / 3时
x (1) e
11.83, 8 /
2）由于 dx y z，当z增加到一定程度，dx 0,
dt
dt
则x减少。当x c时，dz b (x c)z 0,于是z减少。 dt
这就是“ 伸长” 和“ 折叠” 现象。
Chua’s电路
G
ir
+
L
C2 C1
Ru
-
x&1 x2 x1 g(x1)
x&2 x1 x2 x3
连续混沌动力系统的离散化系统同样表现初值 敏感依赖性，为离散混沌系统。
离散动力系统只有当维数大于或等于2时，才 可能出现混沌运动。
不可逆映射可构成半动力系统，其中也会出现 混沌运动，其维数不受限制。
Henon映射
1964年法国天文学家Henon从研究形状星团以及 洛伦兹吸引子中得到启发，给出如下映射形式， 从中发现近似随机的运动行为
系统轨线不会限定在一个光滑的曲面上。
由于自治系统轨线不会相交，因此轨线不可 能限定在2维曲面上。
运动轨线既有“伸长”，也有“折叠”。
只有“伸长”，则轨线要发散到无穷远处； 只有“折叠”，则轨线必然收敛到“平衡点” 或“极限环”。
Rössler系统
dx y z dt dy x ay dt dz b (x c)z dt
只含有一个非线性项。
设a 0.398,b 2, c 4。可以解出两个平衡点，
都是不稳定的。相点运动最终的轨线是混沌的，
生成R&o&ssler吸引子。
30
20
z
10
0 10 0
y -10
-20
10 0 -10
x
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-15
-10
-5
0
40
35
30
25
20
1963年，Lorenz给出3维混沌系统模型，具有一 个非常生动形象的奇怪吸引子－Lorenz吸引子。 这是耗散系统中导出混沌解的第一个实例。
1963年KAM定理提出，讨论保守系统中长期演 化过程怎样出现混沌态。
1964年，埃侬给出Henon映射，理论解释了几个世 纪以来一直遗留的太阳系稳定性问题。 1975年“混沌”一词作为科学术语首次出现 1976年梅（May R)由Logistic模型发现极为复杂的 动力学行为。 1978和1979年，费根鲍姆等发现了倍周期分岔中标 度性和普适常数。 Smale提出一个二维映射（马蹄映射），构造了一 个混沌不变集，在混沌理论发展中起到至关重要的作 用。
20
x 0
-20
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
50
y0
-50
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
60
z 40 20
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
x0 x0 0.0000011,1,1 T =12.50秒
初值敏感依赖性
确定性系统中，从不同初始状态出发的两条运动轨 道，无论轨道的初值状态多么接近，随着演化的进 行二者将不断分离，最终形成两条完全不相关的轨 线。该现象称为运动的初值敏感依赖性。
同时, Lorenz系统为耗散系统,其相空间体积收缩速率
f 1 dV f1 f2 f3 ( 1 b) 0 V dt x y z
可证明Lorenz系统的运动轨道最终限定在球M范围内。
Z M
椭球S：
4x2 (b r)2
4 y2 (b r)2
4b
z
r 2
(b r)2
2
1
任意 x S ，满足 V&( x) 0 ；
对于动力系统t : X X ,t (=[0,+)或¢ + )和集合 A X ,若存在 0，对于任意x A和以x 中心的开球 U ( x, ),能够找到U ( x, )中某一点y U ( x, ) I A和t ,
使得 t ( x) t ( y) .
在工程中，将限定在有限区域内表现对初值 敏感依赖性的确定性运动称为混沌。
…… 1990年前后，美国科学家Ott, Grebogi, Yorke和 Pecora, Carroll分别在混沌控制和混沌同步方面取得 突破性进展，加速混沌应用的研究。
关于混沌的科普读物
James Gleick, Chaos: Making a New Science《混沌：开创新科学》
Ian Stewart, Does God Play Dices? The Mathematics of Chaos《上帝掷 骰子吗？混沌中的数学问题》
15
10
5
0
-15
-10
-5
0
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
5
10
15
20
0
5
10
15
Rössler吸引子的伸长和折叠
1）先令z
0但z
0，则
d2x dt 2
dy dt
x
a
dx dt
由于a 0.398 0,x的解具有e0.5at sin(t )的形式，
即x呈螺旋状发散。同时 dz b 0, z增加(z 0)。 dt
3,
22.83
x(2) e
0.094
j10.19, 13.85
x(3) e
0.094
j10.19, 13.85
因此平衡点不稳定，系统没有静止状态。
Lorenz系统运动的有界性
令V (x) x2 y2 z r 2
则V&(x) 2xx& 2yy& 2(z r )z&
x2 y2 b
第七章（1） 非线性系统的混沌现象
讨论内容之一
连续系统中的混沌运动行为
举例：Lorenz系统的运动形式
dx dt
(y x)
f1(x, y, z)
dy dt
bx
y
xz
f2 (x,
y, z)
dz dt
rz
xy
f3(x, y, z)
一种简单的描述区域小气候的模型，x表示对流运动振幅，
y表示对流时上升与下降流体的水平方向温差，z表示对流
xn
)
1 3
4
xn yn
1 1
2 yn
yn
yn
3
5
24
4
拉面过程
3
2
1
5
1
Lauwerier吸引子
Logistic映射
将Henon映射xn1
F
( xn
)
yn
1
bxn
axn2
限定在
x轴上，得到一维映射
xn1 1 axn2 , xn 1,1
该映射称为Logistic映射，为不可逆映射。
Diacu, Philip Holmes, Celestial Encouters 《天遇》
混沌的一种严格定义
定义(Devancy, 1985): X是拓扑空间,定义t : X X
为混沌,如果同时具备以下三条性质 :
(i) 拓扑传递性:存在x0 X，使得{t (x0 ), t } X，
即x0的轨道在X内处处稠密;
令 1 1 1 4a ，可得到另一种标准形式 4 xn1 xn 1 xn , xn 0,1
讨论内容之三
混沌运动的数学定义
混沌科学发展中的重要事件
庞加莱在19世纪末研究三体运动的稳定性时发现具 有初值敏感依赖性的运动形式（由Halmiton系统在 微扰作用下产生的横截同宿轨引起）。
直到20世纪60、70年代混沌才成为研究热点，数学 家对其注入了严格性。
x0 x0 1.73104
(3) x0 x0 0.0000011,1,1
x0 x0 1.73106
T min t : t (x0) t (x0 ) 1
20
x 0
-20
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
50
y0
-50
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
60
40
z 20
x&3 x2
ir
0
u
参数取值
10, 14.87
m1 1.27, m2 0.68
5
z0
-5 0.8
0
y
-0.8 -3
0x
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
3
3
2
1
0
-1
-2
定义M (x, y, z) x2 y2 (z r )2 R2 表示
以0,0, r 为中心，半径为R的球。
若R足够大，使得椭球面S位于M的内部。则对
任意x0 ¡ 3, 存在t1,对任意t t1,x(t) t ( x0 ) M .
若x(t) M ,则x(t) S,V&(x) 0,当t ,V (x(t)) ,从而 x(t) S;若V&(x) 0,则x(t) S,从而x(t) M.
(ii)周期轨稠密性:的周期点per() X 在X中稠密; (iii)敏感依赖性:存在 0,k 0使得x X 任一邻域 U X中存在y U ,满足 k ( x) k ( y) 。
举例：Smale马蹄映射
5
H1 4
3
5
正映射 4
H0 2
z
1 2
(
r)
2
1 4
b
r
2
记S : x2 y2 b
z
1 2
r
2
1 4
(b
r)2
S表示以0,0,12 ( r)为中心，主轴长度分别为
br
2
,
br 2
,
br 2b
椭球。则在S之外
d dt
V
(x)
0.
由此可知,从相空间中任何一点出发的轨道在足够 长时间后必然限定在有限区域内。Leabharlann Baidu
Lorenz系统运动的有界性