鞅和测度

ƒ1 ƒ2 遵循的过程的离散形式为:
ƒ1 1 ƒ1t 1 ƒ1z ƒ2 2 ƒ2 t 2 ƒ2 z
将 2 ƒ2 个第一种衍生证券和- 1ƒ1 个第二种衍 生证券组合起来，消去 z ，构造一个瞬间无 风险证券组合
若 为该证券组合的价值
( 2 ƒ2 ) ƒ1 ( 1ƒ1 ) ƒ2 = 2 ƒ2 ƒ1 1ƒ1ƒ2
df rfdt f ,i fdzi
i 1 n
dg rgdt g ,i gdzi
i 1
n
定义其他内部一致的世界： 设定：
n n df r i f ,i fdt f ,i f dzi i 1 i 1 n n dg r i g ,i gdt g ,i g dzi i 1 i 1
• 如果风险的市场价格被设定为 g 的波动 率，则所有衍生证券 f ，比率 f / g 遵循 鞅。
证明 假设 f 和 g 的波动率分别为 F和 g ；在风险的市场价格为 g 的世 界中 根据方程 df (r ) f dt f dz 有 df (r gf ) f dt ff dz dg ( r 2 g ) gdt ggdz
• 假设1： f 和 g 是依附于单个不确定 来源的可交易衍生证券的价格； • 假设2：该衍生证券在考虑的时间段内 不支付任何收益。 定义
f g
是f 对于g 的相对价格
衍生证券 g 的价格被称为计价标准。
等价鞅测度结论说明 • 当不存在套利机会的时候，对于某些 风险的市场价格的选取值， 遵循鞅 。进一步，对于一个给定的计价标准 证券 g ，同样选取这些风险的市场价 格值，对于所有衍生证券 f ， 遵循 鞅。这个风险的市场价格的选取值是 g 的波动率。
E g 是关于 g 的远期风险中性
世界中的期望值。
25.4 计价标准的其他选择
货币市场账户
零息票债券价格
年金因子
货币市场账户作为计价标准
dg=rg dt
0rdt , 等式 因为 g 0 = 1，g T = e fT f0 Eg g g0 T ˆ e 0 f0 E
可交易证券 f 的预期增长率上升了
(
i 1
n
h ,i
g ,i ) f ,i
考虑变量 v ，它是可交易证券价格的函 数，不一定等于可交易证券价格本身。
的预期增长率对计价标准的改变的反应 与可交易证券价格的预期增长率的变化相 似。
v
v ( h,i g ,i ) v ,i
f 0 P (0, T ) ET [ fT ]
年金因子作为计价标准
s(t)=EA[s(T)] 未来互换率的期望值为当前 的互换率 fT f0 Eg g g0 T
fT f 0 A(0) E A A(T )
25.5 扩展到多因子模型
• 假设有n个独立因子， f 和 g 在传统 风险中性世界中的行为过程：
• 并且 E 表示期望值
第25章 鞅和测度 单东方
根据伊藤定理
dlnf (r gf－
2f
2
)dt f dz
d ln g (r
2
g
2
)dt gdz
f f d ( ) (f－g ) dz g g
说明比率 f / g 遵循鞅。
fT f0 Eg g g0 T

fT f0 g0 Eg g T
鞅和测度
Martingales and Measures
当利率是常数时,风险中性估值方法是明 确的估值工具，
S 0u fu S 0 d fd fu fd S 0(u d )
如果以无风险利率 来表示，该组合的 现值：
( S 0 u f u ) e
rT
构造该组合的成本
r σ
风险补偿的超过无风 险利率的预期收益
的风险价格 × 数量
在传统风险中性世界
r， 0
df rf dt f dz
在风险的市场价格为的世界 df (r ) f dt f dz
变量的风险市场价格决定所有依附于该变量 的衍生证券的增长率。
改变计价标准时需要对一个变 量 v 的预期增长率做出调整， 是 v 的变化百分比以及计价 标准比率的变化百分比之间的 瞬时相关系数。
25.7 应用
• 注意： • 如果 v 服从对数正态分布， v的标准差为 w ln
E[max( V K ,0)] E (V ) N (d 1) KN (d 2) w2 E (V ) ] ln[ K 2 d1 w 2 E (V ) ] w ln[ K 2 d2 w
E ( S n1 | Sn ) S n
• 鞅是零飘移随机过程，一个随机变量的 时间序列没有表现出任何的趋势性，就 可以称之为鞅；它在任意的未来时刻的 期望值等于今天的价值；
E (T ) 0
等价鞅测度结论
• 等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程 转化成鞅的测度。这一测度和原来随 机过程伴随的测度等价。转化成鞅后 ，可是直接采用求数学期望的方法来 获得金融衍生产品的价格，如期权， 而不用解偏微分方程了。
r
2 1
r
2
1
r
1 σ 1
2 σ
r
2

如果 ƒ 为一种依赖于 和 t的某个证券的价格
df ƒ
dt dz
r
σ

——
的风险市场价格
在不存在套利机会时，对于每个只依附于 t 的衍生证券，任一时刻的 r 都是 和 σ 相同的。
代入
ƒ1 1ƒ1t 1ƒ1z ƒ2 2 ƒ2 t 2 ƒ2 z
=( 1 2 ƒ1ƒ2 2 1ƒ1ƒ2 )t
由于是瞬时无风险的，它的盈利率一定为 无风险利率 =r t 因此：
r r
1 2 即
1 2 σ σ 1 2 定义为上式的每一边的值，所以
i 1
n
定义 w h , g
w,i h ,i g ,i v w,i v w v
i 1
n
v w v
称
w为计价标准比率， w 是 w 的总波动率。 是 v 和 w 之间的瞬间关系系数
S 0 f ( S 0u fu )e f e
rT
rT
[pfu (1 p ) fd ]
也就是说，期权的现价是其未来预 期值按无风险利率贴现的值。
25.1 风险的市场价格
• 考虑依赖单个变量 的衍生证券的特性 假设变量 遵循随机过程：
d m dt s dz
的风险组成部分。
- r i
i 1
n
i
当存在多个标的变量时，超额收益等 于风险价格乘以每个变量波动率的总 和。
一种股票依赖 于标的变量 市场价格
石油
黄金
i
0.2
0.05
—0.1
0.1
股票市场 的整体情 况 0.4
0.15
对应的因子 i
25.3 鞅
• 鞅是一种用条件数学期望定义的随机 运动形式，或者说是具有某种可以用 条件数学期望来进行特征描述的随机 过程。
rdt
T T
fT
ˆ 即 f 0 E (e r T f T )

零息票债券作为计价标准
定义P (t , T )为T时刻支付1美元的零息票债券 在t时刻的价格，设定g P (t , T ) 因为gT P (T , T ) 1且g 0 P (0, T ) fT f0 Eg g g0 T
扩散过程变量的一般属性：从一个风险 的市场价格转到另一个风险的市场价格 时，衍生证券价格的预期增长率 会变化， 但波动率 保持不变。

r
25.2 多个状态变量
依赖于i的证券价格f 遵循的过程为
n df dt i dzi ƒ i 1
为证券的预期收益，i dzi 是对i起作用的收益

m—— S——

的预期增长率 的波动率
设 f1 和 ƒ2 是仅决定于 和时间t的两种衍生 证券的价格，在我们考虑的时间内，不支付 任何收益。 假设 f1 f 2 遵循的过程如下:
df1 1 dt 1 dz ƒ1 df2 2 dt 2 dz ƒ2
dz是一个维纳过程，是 f1 f 2价格中唯一的 不确定性来源。
25.6 计价标准改变
关于g的远期风险中性世界中，f遵循的行为过程是
n n df r g ,i f ,i fdt f ,i f dzi i 1 i 1
关于h的远期风险中性世界中，f遵循的行为过程是
n n df r h ,i f ,i fdt f ,i f dzi i 1 i 1