高考数学函数应用题

图2

图1

函数应用题

【热点聚焦】

最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等．

【基础知识】

运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：

1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．

}

根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：

【课前训练】

1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A ．7200×（

31）3元 B ．7200×（32）3元 C ．7200×（31）2元 D ．7200×（3

2

）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋

）｝，其中f （H ＋

）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋

）＝1×10－

5mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ）

}

．

4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．

5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变．

'

其中说法正确的是____．

【试题精析】

【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .

(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；

(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省

$

【例2】（2003北京春）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少

"

【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.

%

【例3】（2000全国卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大（注：市场售价和种植成本的单位：元／102，ｋg，时间单位：天）}

【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.

【例4】（2001上海卷）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次

．．．．的效果作如

下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的

2

1

，用水越多洗掉的农药量也越多，但总

还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次

．．．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.

（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；

"

（3）设f（x）=

2

1

1

x

，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也

可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少说明理由.、

【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．

【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为亿，1600年为5亿，1830年为10亿，

1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿．请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿到2100年地球上将会有多少人口

~

【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律()(t f 越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知： ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=402038072010240

10010024)(2t t t t t t t f (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目

…

…

【针对练习】

1．(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的

4

3

，若要使存留的污垢不超过原有的1％，则至少要漂洗( )

A ．3次

B ．4次

C ．5次

D ．6次

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是 ( ) =2x (x ∈N *) =2x (x ∈N *) =2x +1(x ∈N *) =log 2x (x ∈N *)

3．对山东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率44%，至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为 ( ) % % % D.资料不全，难以判断

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4．北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15cm ，体重15g ，问：当小蜥蜴长到体长为20cm 时，它的体重大约是（ ） A ．20g

B ．25g

C ．35g

D ．40g

5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y 与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是……（ ）