组合数学课件(第四章二项式系数)

证明：从n名同学中选出k位组成班 委，在k位班委中选1人做班长，问 有多少种方法？
§4.1 二项式定理
n
§4.1二项式定理
定理 4.1
如n N , x , y R, 有( x y )n n x k y nk k k 0
)
证明：因为 (x+y)n=(x+y)(x+y)…(x+y) ，等式右端有 n 个因子，项 xkyn-k 是从这 n 个因子中选取 k 个因子， k=0,1,…,n 。在这 k 个 (x+y) 里都取 x，而从剩下的 n-k个因子 (x+y)中选取 y作乘积得到，因此 xkyn-k的系数为上述选法的个数C(n,k)。故有
录
第四章 二项式系数 4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结 习题 第五章 包含排斥原理 5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结 习题
k 1 2 如 n N , 有 ( 1) k C ( n, k ) 0 (4.7) ’ 类恒等式 ：
k 0 n
n
证明： (1 x )n n x k k k 0 将等式两边对x微分得 n n(1 x )n 1 k n x k 1 k k 1 将等式两边同乘以x后再对x微分得
n 1 如 n N , 有 k C ( n , k ) n 2 恒等式(4.6) ： k 1 n
证明：考虑盒子1中有n个有区别的球，从中取一个球放入盒子2 中，再取任意多个球放入盒子 3中。等式左端表示先从盒子 1 中 取k(k=1,2,…,n)个球，再从中取一个放入盒子 2中，剩下的 k-1个 球放入盒子3中。等式右端表示先从盒子1中取一个放入盒子2中， 剩下的 n-1 个球是否放入盒子 3 中均有两种可能。显然两种取法 结果是一样的。得证。 或通过计算证明： n n n n n k n 1 n n 1 k k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 n n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n 由式(4.2) : k 1 k k k n 1 k 1 k 0 n 2n 1
)
)
) ) ) )
n
证明：在推论4.1.2中令x=1，即可得证。 利用组合分析，等式左端相当于从 A={an}中任意选择 k(0≤k≤n)个 元素的所有可能数目，即对 n个元素，每一个都有被选择和不被 选择的可能，总的可能数为2n。 另外，该等式还表明A的所有子集个数为2n。
§4.1二项式定理推论2 § 4.1 二项式定理
证毕。 注：可用数学归纳法证明，证明略； C(n, k)又称二项式系数。
( x y )n n x k y n k k k 0
n
)
§4.1二项式定理推论1 § 4. 1二项式定理
四个推论
n
如n N , x , y R, 有( x y ) n x k y n k 推论4.1.1： nk k 0 n n n x nk y k n x nk y k k nk k 0 k 0 n n n n k 如n N , x R, 有(1 x ) x n xk 推论4.1.2： k nk k 0 k 0 n 如n N , 有 n 2n 推论4.1.3： (4.4) n元集合的所有子集个数是2n k k 0
n
)
n k 0
即 得证。
) (1 x ) x n ) k k 1 n 1 2 1 1 n n 1 k 1 k )
n 1 1 n 1 0 n k 0
k 1 1
0
§ 4.2 组合恒等式及其含义 恒等式(4.7) § 4. 2 组合恒等式及其含义
恒等式(4.7)： 如n N , 有 k 2 C ( n, k ) n( n 1) 2n 2
组合数学课件
制作授课：王继顺
目录（1）
目
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结 习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结 习题
n n
)
k 0
)
) )
得证。
§ 4.2 组合恒等式及其含义 恒等式(4.6) § 4. 2 组合恒等式及其含义
1 2 n 1 1 C ( n, k ) 恒等式(习题4.8积分方法)：如n N , 有 n 1 k 0 k 1 n n 证明： (1 x ) n x k k k 0 将等式两边对x从0到1积分得 n 1 1 n n k (1 x ) dx x dx 0 k 0 k 0
n
)
k 0
)
n 1 n2 2 n k 1 n (1 x ) ( n 1) x (1 x ) k x k k 1 在上式中，令x=1得 n 2 n n2 k n ( n 1)2 k k 1 得证。 注：如令x=-1，即可证明另一恒等式(4.7)’ 。
)
) ) ) )
§ 4. 2 组合恒等式及其含义
n 1 如 n N , 有 k C ( n , k ) n 2 恒等式(4.6) ：§4.2 组合恒等式及其含义 恒等式(4.6) k 1 n
证明：证法3 由二项式定理有
对上式两边微商得
n k (1 x) 1 k x , k 1
四个推论
n
如n N , x , y R, 有( x y ) n x k y n k 推论4.1.1： nk k 0 n n n x nk y k n x nk y k k nk k 0 k 0 n n n n k 如n N , x R, 有(1 x ) x n xk 推论4.1.2： k nk k 0 k 0 n 如n N , 有 n 2n 推论4.1.3： k k 0 n 如n N , 有 ( 1)k n 0 推论4.1.4： (4.5) k k 0 证明：在推论4.1.2中令x=-1，即可得证。 另外，该等式还表明A={an}的偶数子集个数和奇数子集个数相等。
)
)
) ) ) )
n
)
即
n n n n 0 2 1 3 .
n 元集合的偶子集个数与 奇子集个数相等
(4.5)’
§4.2 (4.6) § 4. 组合恒等式及其含义恒等式 2 组合恒等式及其含义
义及应用。
第4章 二项式定理
§4.1二项式定理
1.二项式系数 n 组合数C(n,k)或者 k 2. 组合数的定义
k n, 0, n n! k k!(n k )! , 0 k n.
()
也叫二项式系数.
§4.1 二项式定理 3.组合数的一些恒等式 （1）对称式
********************** 课程总结
第4章 二项式定理
教学目标：
1．掌握二项式定理、证明方法及其应用； 2．掌握推广的二项式定理； 3．掌握多项式定理、证明方法及其应用； 4．理解一些组合恒等式的意义及其证明方法； 5．非降路径问题的组合意义及应用；
重点：二项式定理、多项式定理证明方法及其应用； 难点：一些组合恒等式证明方法，非降路径问题组合意
n n k n k
(4.1)
（2）抽取式
n n n 1 k k n 1 , n, k为正整数.
(4.2)
（3）Pascal公式
n n 1 n 1 k k k 1 , n, k为正整数.
n
类（4.6）恒等式(习题4.7) ： 如n N , 有 ( 1)k k C ( n, k ) 0 证明：
(1 x ) n x k k k 0 将等式两边对x微分得 n n(1 x )n 1 k n x k 1 k k 1 在上式中，令x=-1得 n n 0 k 1 ( 1) k k k 1 n n 0 k 1 即 ( 1) k k k 0
) )
)
)
n n n 1 k nk k 证：某班有n名同学，要选出k位班委会成 员，再选1名作书记，这名书记不可以是班 委会成员，问有多少种不同的方案？
n n k 1 n k k 1 k
n
)
)
§ 4. 2 组合恒等式及其含义
恒等式(4.8)：如n,l,r∈N,l≥r，有C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r) §4.2 组合恒等式及其含义恒等式(4.8) 证明：等式的左端可看作是先从n个元素中取l个元素，然后再从 所得的l个元素中再选择 r个元素的方法数。这种选法与直接从 n 个元素中选取r个元素的选法不同. 因为同样的r个元素可以多次 出现. 例如7元集{a,b,c,d,e,j,k}，从中选5个元素，比如说{a,b,c,d,e} 和 {a,b,c,j,k}，它们都可以选出同样的 3 个元素 {a,b,c}，不难看出， 某r个元素可以重复出现的次数就是包含它们的 l元子集的个数， 而这种l元子集的其余l-r个元素可以取自n元集的n-r个元素, 所以 C (n r , l 个 r.) 综上所述，通过先选l个元素然后 这种l元子集有 n l n n r n C(n,r)C(n-r,l-r)种。得证。 再选r个元素的选法应该有 l r r l r r 或通过计算证明： n! l! n! n l
n n
然后令x=1得
n k 1 n(1 x) k k x , k 1 n n n 1 n2 k k . k 1
n 1 n
注：如令x=-1，可证明下面恒等式 。
§4.2 组合恒等式及其含义恒等式(4.6)
§ 4. 2 组合恒等式及其含义
Baidu Nhomakorabea
目录（2）
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结 习题
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结 习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结 习题
(4.3)
§4.1二项式定理
n,k∈N，有C(n,k)=(n/k) C(n-1,k-1) 抽取式（4.2）：如 §4.2 组合恒等式及其含义抽取式 (4.2)
证明：从 n个元素中取 k个的组合可先从 n个元素中取 1个，再从 剩下的n-1个元素中选择k-1个，组合数为C(n-1,k-1)。选出的k个 元素都有可能被第一次选中，因是组合，故重复度为k。得证。 或通过计算证明： n 若 k n, n n 1 0 k k k 1 若1 k n, 有 n n( n 1)...( n k 1) k k ( k 1)...1 n ( n 1)( n 2)...( n k 1) n n 1 k ( k 1)( k 2)...1 k k 1