数列的单调性

数列的单调性

一【问题背景】

数列是函数概念的继续和延伸，它是定义在自然数集或它的子集上的函数，其图象是坐标系内一群孤立的点．

单调性是研究函数的重要抓手，同样的，通过研究数列的单调性也是我们解决数列问题的重要工具，其作用主要体现在求数列最值、恒成立等问题上．

二、【数列的单调性】

数列是一种离散型的函数，它的单调性定义与函数的单调性定义既有联系又有区别．

在数列{}n a 中，若对任意的n *

∈N ，都有1n n a a +>，则数列{}n a 为单调递增数列；若对任意的n *

∈N ，都有1n n a a +<，则数列{}n a 为单调递减数列．

特别的，若等差数列{}n a 为递增数列，则公差0d >；若等差数列{}n a 为递减数列，则公差0d <．

若正项等比数列{}n a 为递增数列，则公比1q >；若正项等比数列{}n a 为递减数列，则公比01q <<．

三、【范例】

例1 数列{}n a 的通项公式n a =n n λ+2 *∈N n ，若数列{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是 ．

解：数列为递增数列()

*

+∈<⇔N n a a n n 1恒成立，

即())1(12

2+++<+n n n n λλ 化简得12-->n λ恒成立，

即max 12）（-->n λ，

因为{}12--n 为单调递减数列，当1=n 时，取得最大值-3 所以3->λ．

变式 通项公式为2

n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1

n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

解：22

1(1)(1)()(21)1n n a a a n n an n n a +-=+++-+=++，

12345a a a a a <<<<⇔当14n ≤≤时，1+

所以当14n ≤≤时，恒有(21)10n a ++>，121a n ∴>-

+，max 11

()219

a n ∴>-=-+．

又

当8≥n 时，1+>n n a a 恒成立，121a n ∴<-

+，min 11

()2117

a n ∴<-=-+． 所以11

917

a -

<<-． 例 2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

2

n n a -=，数列{}n b 的通项公式为

2

(1)

n b n n =

+．设()()1n n n c S nb λ=+-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值

范围．

解： 1(12)2112n n n S ⨯-==--，所以2

2()1

n n c n λ=-+，

要使数列{}n c 是单调递减数列， 则142

2(

)021

n n n c c n n λ+-=--<++对n *∈N 恒成立， 即4221n n λ>-++恒成立，所以max 42

()21

n n λ>-++，

令

42

21

n d n n -=++，则12(1)(1)(2)(3)n n n d d n n n +--=

+++， 所以1234d d d d =>>>，因此当1=n 或2时，,3

1

)1224(

max =+-+n n 所以1

3

λ>

． 例 3 已知}{

n a ，}{n b ，}{

n c 都是各项不为零的数列，且满足11a c d k ===（k 为

常数，k *

∈N ），1122n n n n a b a b a b c S ++

+=（n *∈N ），其中n S 是数列}{n a 的前n 项和，

}{n

c 是公差为(0)

d d ≠的等差数列．若n

n k b

c +=(2,)n n *∈N ≥，求证：对任意的

2,n n *∈N ≥，数列{}n n

b

a 单调递减．

解：因为1122n n n n a b a b a b c S ++

+=，

当2n ≥时，11112211n n n n S c a b a b a b ----=++

+，两式相减得11n n n n n n S c S c a b ---=，

即111()n n n n n n n S a c S c a b ---+-=，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-，

因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=，

所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，

当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，

即11

n n k a a k

-+=

，故从第二项起数列}{n a 是等比数列， 所以当2n ≥时，2

21()n n k a a k

-+=，

221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-+=+-+=+，

另外由已知条件得1221122()a a c a b a b +=+，又22c k =，1b k =，2(2)b k k =+， 所以21a =，因而2

1(

)n n k a k

-+=， 令n d =

n n

b a ，则111n n n n n n d b a d a b +++=(1)()(1)n k k n k k ++=++，

因为(1)()(1)0n k k n k k n ++-++=-<，所以

1

1n n

d d +<， 所以对任意的2,n n *

∈N ≥，数列{

}n

n

b a 单调递减． 例4 已知数列{}n a 的通项公式12,21,23,2n

n n n k a k N n k

*

-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩，前n 项和为n S ，是否存在正整数m ，使得

221

m

m S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．

解： 对于k N *

∈，有22(121)2(13)13213

k k k

k k S k +--=+=-+-，

21212122132313k k k k k k S S a k k ---=-=-+-⋅=-+，

假设存在正整数m ，使得

221

m

m S S -恰好为数列{}n a 中的一项，又由（1）知数列{}n a 中的每一项都为正整数，故可设

221()m m S l l N S *

-=∈，则221

1313m m m l m --+=-+, 变形得1

2(3)3

(1)(1)m l l m --=--，

∵1

1,1,3

0m m l -≥≥>，∴3l ≤，又l N *∈，故l 可能取1,2,3，