3讲义特殊的二次函数图像三
匚J 源于名校，成就所托
复习引入:
（一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点）
描点、连线
分
（1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处
析：
（2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么
（3）这三个二次函数若与坐标轴有交点，交点坐标是
匚J ‘me源于名校，成就所托总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）
a 的符号开口方向
顶点坐标对称轴性质
a >0向上(-m,k)
直线
x = -m
XA—m时，y随x的增大而增大；XV—m时，y
随x的增大而减小；x —-m时，y有最小值
k.
a cO向下(-m, k)
直线
x = -m
x > —m时，y随x的增大而减小；x ￡—m时，y
随x的增大而增大；x _ -m时，y有最大值
k.
1 ?平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a（x m）2 k，确定其顶点坐标（-m,k）；
⑵ 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（-m,k）处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“ m值正左移，m负右移；k值正上移，负下移”. 概括成八个字
“左加右减，上加下减” ?
例题分析
1.填表
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
2
y = -(x -2) +4
1 2
厂尹3)2_5
2,1
y = —3(x—2) + —
3
—3、2 7
y = ——(x —一) 一—
12 4 12
2?抛物线y=-5x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式为
轡立方教月
L
y=ax2 2
y=ax +k(c)
2
y=a(x+m) +k
2
y=a(x+m)
源于名校，成就所托
3.___________________________ 抛物线y =2x2沿x轴向____________________ 移
________________________________ ■个单位，再沿y轴向____________________ 移________
个单位，可以得到抛物线y =2(x ? 2)2— 3
4.抛物线y—^x—l)2向左平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线表达式为
2 5 6 7 8 9 10
5 抛物线y=2(x+2)2-1沿x轴向 ___________ 移 ____________ 单位，再沿y轴向_____________
平移______ 单位，可以得到抛物线y=2(x-2)2-3
6 二次函数y=—(x-2)2,1开口向_____________ ，顶点坐标为：_____________ ，与x轴的交点
为________________ ，与y轴的交点为：_____________ ，对称轴为：__________ 。
7 已知二次函数y = a -1 x2-3x a2-1的图像经过原点，那么a的值是 ______________ 。
8 抛物线y = x2—4x + c的顶点在x轴，则c的值_____________
9 已知二次函数y二-3(^2)2 9
(1) _______________________ 抛物线开口方向____ ;对称轴_____________ 顶点坐标
(2) ____________ 当x= _________________ 寸，抛物线有最________________ 点，它的坐标是_______________
(3)该抛物线图像可以由y=-3x2的图像经过怎样的平移得到
10 已知二次函数y =(x ? 1)2 -4
(1)指出函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标
(2)沿x轴正方向看，该函数图像在对称轴的左右两部分分别是上升还是下降
11.已知二次函数y = a(x+m)2+k的图像的顶点坐标为(3,2 )，这个图像经过平移能与y = -4x2的图像重合，求这个二次函数的解析式
（二）在平面直角坐标系中画出函数 目仝 2x-3的图像
列表：配方得到y =（x 1）2-4 （五点法：y 轴交点以及关于对称轴的对称点，与
x 轴的交点，顶点。）若
与x 轴
无
交
点
，
则取
三点即可
x
-3
-2
-1
1
2
y =（X +1） -4
描点、连线
分析：任意抛物线y =ax 2+bx+c （a^0）都可以利用配方法得到 ____________ 式 总结:
y 随x 的增大而增大；当x —屯时，y 随x 的增大而减小；当x = 时，y 有最大值色皿
2a
2a
4a
3. 任意抛物线y 二ax 2，bx <@ = 0）在平移过程中，都要将其利用配方法配成顶点式进行平
轡立方教冃
□
1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为
x 七，顶点坐标为
'b 4ac-b 2 2a ' 4a
当时，y 随x 的增大而减小；当
2a
2
y 有最小值4a ^b ?
4a
b x
2a
时，y 随x 的增大而增大；当 x=￡ 时,
2.当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为 x_2a ，顶点坐标为石，
b 4ag -^2
4a ?当 x 记时,
4. 与x 轴交点坐标为：当L 工0时，与x 轴的交点坐标为（匕 舊,0）,（匕 舊,0）
2a
2a
与y 轴交点为（0，c ） 例题分析：
1. _____________________________________ 二次函数y=2x 2-4x-3，当x= ____________ 寸，函数y 有最 ___________________________________ 是 _________________ .
2. ________________________________________________ 把二次函数y = x 2 -2x -1配方成顶点式为 ________________________________________________
3.
先通过配方把下列二次函数的解析式化成 y =a （x m ）
2
k 的形式，再指出每个函数的开口
方向，对称轴和顶点坐标
1 2 2
（1） y=—x-2x1
（ 2） y = -3x 8x - 2
2
(3) y = _]x 2 x -4
4
1
4. 已知抛物线y = x 2 ? （k-1）x --的顶点的横坐标是2，求k 的值
4
5. 已知二次函数y - -x 2 ? 4x ? m - 2顶点的纵坐标为-5，求m
轡立方教冃
、古宀丄亠
□
(4) y =2x 2 -12x 25
6.把抛物线y = _2x2，4x /沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式。
巩固练习：
1.二次函数y=x2-1的图象是一条_______________ ，顶点坐标为：_________ ，与x轴的交点为 ___________ ，与y轴的交点为： __________ ，图像有最______ 点。
2.二次函数y = _(x「2)2? 1开口向__________ ，顶点坐标为：_____________ ，与x轴的交点
为 _________________ ，与y轴的交点为：_____________ ，对称轴为：_________ 。
3.二次函数y = -(x ? 2)2 -4顶点坐标为： ________ ，对称轴为：___________ ，与y轴的交点为：______________ ，与x轴的交点为________________ 。
4.二次函数y=(x-2)2-3的顶点坐标为：__________ ，对称轴为：___________ ，与x轴的交点为________________ ，与y轴的交点为： _____________ 。
5.二次函数y =-3(x ? 2)2的顶点坐标为：________ ，对称轴为：___________ 与x轴的交点
为________________ ，与y轴的交点为： _______________ 。
6.二次函数y=-3x2-4的顶点坐标为：___________ ，对称轴为：___________ ，与x轴的交点为________________ ，y轴的交点为：_______________ 。
2.用配方法求出下列函数的顶点坐标及对称轴
(1) y = 2x2 -3x -5 ( 2) y - -2x2 4x 4
源于名校，成就所托
1 2
(4) y x-3x
4
3. 根据图中的抛物线，回答下列问题 /1)写出抛物线的对称轴
/2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；当x 为何值时，y 随x 的增大而减小 4.
将抛
物线y=ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点/ 3,
-1)，求移动后的抛物线的解析式
5. 已知抛物线y =(x a)2 2a 2 3^5的顶点在坐标轴上，求a 的值，并指出顶点坐标
6. 已知二次函数y = -x 2 +bx +c 的图像最高点坐标为/ -1，-3)，求b 和c 的值
轡立方教冃
L
匚J
曹立方数育
/3
) 1
2 3
(3) y x —x -一
2 2