高等光学教程-第2章参考答案
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（2）由(2-107)式
0.82
d
pd Z 0
Z 0 2.95 mm p
sin
（3）
V
pd Z 0
sin 3.19 4.76 10 3 3.19
2.6
有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位 10 20 0 ， 偏振方向均垂直于 xoy 平面，这两束光的入射方向与 x 轴的夹角大小相等（如图 p2-6 所示） ，对称地斜射在记录面 yoz 上，光波波长为 633 nm 。 (1) 作出 yoz 平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。 (2) 当两束光的夹角 10 和 30 时，求 yoz 平面上干涉条纹的间距和空间频率。 (3) 设置于 yoz 平面上记录面感光物质的空间分辨率为 2000 条/mm，若要记录干涉条 纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角 最大不能超过多少度。
第二章 干涉理论基础和干涉仪
2.1 用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为 633nm，其谱线宽度为 10
4
nm，光电接
收元件的灵敏度可达 1/10 个条纹， 问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为 l ，则 l 由探测器接受灵敏度 N 10 所决定， 2 l N
所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿 z 方向是周期变化的。由（1-81）式，电能 密度的时间平均值
Re( E D * )
1 4
0n2
4
(i ) Re( E E * ) 0 n 2 E 0
2
2 sin 2 2 kz
结果与坐标 z 有关，与坐标 x 、 y 无关。
2
(i ) E0 //
2
经时间平均后电能密度与 z 无关。 （3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时， 与 z 无关因而感光乳胶在 曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时， 与 z 有关，与 x 、 y 无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。
2 2 sin 2 考虑到乳胶膜与镜 M 成 角，在乳胶膜上得到的条纹的间距
d ( d 4 f 2 )1 / 2
2
l
（2）
2 sin
2d
( d 2 4 f 2 )1 / 2
Z0
2af a a d tg d 2f
增至 z Z 0 时条纹消失，由
1 X Z z 2 0 a Z0
当 0< z < Z 0 时，条纹的总宽度
X
2 d （1） I 1 ( x) 2 I 0 1 cos D x ， 1
2 d I 2 ( x) 2 I 0 1 cos D x 2
d d I ( x) I 1 ( x) I 2 ( x) 4 I 0 1 cos k x cos k x D D
式中 （3）由 k
2 1
d x ，得 D 2 x
由k
（
2N
）
D
2dk
48.23 mm （可见度函数第一次为 0）
d x ，得 D 2
x
D
2dk
49 m
（条纹第一次消失）
2.11 光源的光谱分布规律如图 p2-11 所示，图中以波数 k 作为 横轴，波数的中心值为 k0 在光谱宽度 k 范围内 F( k )不变，将
从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 时的偏振方向相同，光程差为 S ，试求： （1）两光束干涉后所得光强的表达式 I( S ) （2）干涉条纹的对比度 V( S ) （3）对比度 V 的第一个零点所对应的 S ？ 图 p2-11 解答：两束光的每一束在 dk 范围内光的强度为 I dk I1 I 2 0 ， 2 k （1）
图 p2-6-1 解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距
d
2 sin
（1） 在 yoz 平面上干涉条纹的大致形状如图 p2-6-2 所示。
图 p2-6-2 （2）两光束夹角 1 10 时， 1 5 ，
0
d1
2sin 1
0.633 m 3.63 m 2sin 5
与 z 轴夹角分别为 、 0、 。 2.7 如图 p2-7 所示， 三束相干平行光传播方向均与 xz 平面平行， 光波波长为 ，振幅之比 A1 : A2 : A3 1 : 2 : 1 。设它们的偏振方向均垂直于 xz 平面，在原 点 o 处的初相位 10 20 30 0 。求在 z 0 的平面上 (1) 合成振幅分布 (2) 光强分布 (3) 条纹间距
（2）设p=0.2mm，Z 0 、Z 1 不变，改变P 1 P 2 之间的孔距d，当可见度第一次为 0 时 d=? （3）仍设 p=0.2mm，若 d=3mm， Z 0 1m .求 0 面上 z 轴附近的可见度函数。
图 p2-5
pd sin pd Z0 sin c 解答： （1）由(2-106)式 V pd Z0 Z0
l
N
2
Байду номын сангаас
0.032 m （32nm）
一次测长量程 l M 由相干长度 l c 所决定， 2l M l c
2.2
lM
1 1 2 lc 2m 2 2
雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色， 解释为什么油膜较厚时彩色消失。 解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超 过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。 2.3 计算下列光的相干长度 (1)高压汞灯的绿线， 546.1nm (2)HeNe 激光器发出的光， 633nm 解答：计算相干长度 （1） （2）
5nm 1MHz
Lc
2 59.6 m c Lc 300m
2.4 在杨氏双缝实验中 （1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为 1:2， 求产生的干涉条纹可见度。 （2）若以直径为 0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于 1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设 =550nm 解答： （1）
干涉条纹的间距
d
D
d 2 sin 2 sin
2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为 1 和 2 的光，光强均为I 0 ，双孔距 离为d，孔所在的屏与观察屏的距离为D，求： （1）观察屏上条纹的可见度函数。 （2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。 （3）设 1 =5890 A ， 2 =5896 A ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第 一次为 0 时在观察屏上的位置。 解答：
图 p2-8-1 解答：
图 p2-8-2 由P 1 P 2 点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与 z 轴的夹角大小为 ，两 束光重叠区域 z 坐标的最大值为 Z 0 。当观察屏 由 z 0 开始向右移动时屏上干涉区域的横 向宽度为 X 。 （1） 条纹垂直于纸面，间距
sin
2 (i ) cos exp E z 2 E0 kz // 2
由（1-81）式电能密度的时间平均值
Re( E D * )
1 4
0n2
4
Re( E E * )
0n2
4
* * Ez Ez (E x E x )
0n2
图 p2-7 解答： （1）三束光在 xoy 平面上的复振幅分布分别为
U 1 ( x, y ) A exp( jkx sin ) U 2 ( x, y ) 2 A U 3 ( x, y ) A exp( jkx sin )
总的复振幅分布
U ( x, y ) U 1 U 2 U 3 2 A1 cos(kx sin )
k1 2
，
其中
1
k2
2
2
图 p2.10
d d 2k k1 k 2 以及 k k1 k 2 ，I ( x) 表达式中有一个函数 cos k x cos k x ，它是周 D D kdx kd 期函数 cos x 的振幅包络所调制的结果(见图 P2-10)， 条纹的可见度 被一个 cos D D
图 p2-9 维纳驻波实验
解答：
(i ) （1）入射光的偏振方向垂直于入射面时 E 0 // 0 ，在入射角 45 时由（2-41）式给出
Ex 0 2 (i ) E y 2 E 0 kz exp sin 2 Ez 0 2 j t kx 2 2
I I 0 2 I 0 2 I 0 2 I 0 cos
P0
V
dP0
2 2 3
（2）由(2-104)式
b
d
b
b 0.182 M
2.5 图p2-5 所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p，光源波长为 5893 A ，针孔P 1 、P 2 大小 相同，相距为d，Z 0 =1m， Z 1 =1m （1）当两孔P 1 、P 2 相距d=2mm时，计算光源的宽度由 p =0 增大到 0.1mm时观察屏上可见 度变化范围。
(i ) （2）入射光的偏振方向平行于入射面时， E 0 0 ，在入射角 45 时，由（2-41）式给
出
2 (i ) exp E x 2 E0 kz // sin 2 Ey 0
2 j t kx 2 2 2 j t kx 2
（2）在 xoy 平面上光强分布
I ( x, y ) U ( x, y )
（3）条纹间距
2
4 A 2 1 cos(kx sin )2
x
2 k sin 2.8 如图p2-8 所示，S为一单色点光源，P 1 、P 2 为大小相同的小孔，孔径间距为 d ，透镜的 半径为 a ，焦距为f，P 1 、P 2 关于z轴对称。 （1）若在观察平面 上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？ （2）当观察屏 的位置由 Z=0 开始增大时，求 面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条 纹总数与 Z 的关系。
2( Z 0 z )a d 2a z Z0 f
2a d z f
条纹总数
N
X 2d (2af dz ) 2 2 l ( d 2 4 f 2 )1/ 2 f d 4 f 2d
2.9 在图 P2-9 所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以 45 角入射。对于以下两种 情况，求电能密度的时间平均值 (1) 入射光的偏振方向垂直于入射面； (2) 入射光的偏振方向平行于入射面； (3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中 乳胶膜与镜 M 成 角时，求乳胶膜 F 上条纹的间距。
d V ( x) cos k x D
（2）可见度变化周期
lT
d k D
D
k d
条纹间距为
2 2 D d k d k D 在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为 N ，则有 l
D lT ( x) kd k N 2D 2k 2 l kd
0
，
f1
1 276 条/mm d1
两光束夹角 2 30 时，
2 15 ，
f2
d2
2sin 2
0.633 m 1.22 m ， 2sin15
1 820 条/mm d2
（3） 由
1 0 和 633nm 计算得到 78.5 mm 2000 2sin 2
0.82
d
pd Z 0
Z 0 2.95 mm p
sin
（3）
V
pd Z 0
sin 3.19 4.76 10 3 3.19
2.6
有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位 10 20 0 ， 偏振方向均垂直于 xoy 平面，这两束光的入射方向与 x 轴的夹角大小相等（如图 p2-6 所示） ，对称地斜射在记录面 yoz 上，光波波长为 633 nm 。 (1) 作出 yoz 平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。 (2) 当两束光的夹角 10 和 30 时，求 yoz 平面上干涉条纹的间距和空间频率。 (3) 设置于 yoz 平面上记录面感光物质的空间分辨率为 2000 条/mm，若要记录干涉条 纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角 最大不能超过多少度。
第二章 干涉理论基础和干涉仪
2.1 用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为 633nm，其谱线宽度为 10
4
nm，光电接
收元件的灵敏度可达 1/10 个条纹， 问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为 l ，则 l 由探测器接受灵敏度 N 10 所决定， 2 l N
所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿 z 方向是周期变化的。由（1-81）式，电能 密度的时间平均值
Re( E D * )
1 4
0n2
4
(i ) Re( E E * ) 0 n 2 E 0
2
2 sin 2 2 kz
结果与坐标 z 有关，与坐标 x 、 y 无关。
2
(i ) E0 //
2
经时间平均后电能密度与 z 无关。 （3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时， 与 z 无关因而感光乳胶在 曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时， 与 z 有关，与 x 、 y 无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。
2 2 sin 2 考虑到乳胶膜与镜 M 成 角，在乳胶膜上得到的条纹的间距
d ( d 4 f 2 )1 / 2
2
l
（2）
2 sin
2d
( d 2 4 f 2 )1 / 2
Z0
2af a a d tg d 2f
增至 z Z 0 时条纹消失，由
1 X Z z 2 0 a Z0
当 0< z < Z 0 时，条纹的总宽度
X
2 d （1） I 1 ( x) 2 I 0 1 cos D x ， 1
2 d I 2 ( x) 2 I 0 1 cos D x 2
d d I ( x) I 1 ( x) I 2 ( x) 4 I 0 1 cos k x cos k x D D
式中 （3）由 k
2 1
d x ，得 D 2 x
由k
（
2N
）
D
2dk
48.23 mm （可见度函数第一次为 0）
d x ，得 D 2
x
D
2dk
49 m
（条纹第一次消失）
2.11 光源的光谱分布规律如图 p2-11 所示，图中以波数 k 作为 横轴，波数的中心值为 k0 在光谱宽度 k 范围内 F( k )不变，将
从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 时的偏振方向相同，光程差为 S ，试求： （1）两光束干涉后所得光强的表达式 I( S ) （2）干涉条纹的对比度 V( S ) （3）对比度 V 的第一个零点所对应的 S ？ 图 p2-11 解答：两束光的每一束在 dk 范围内光的强度为 I dk I1 I 2 0 ， 2 k （1）
图 p2-6-1 解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距
d
2 sin
（1） 在 yoz 平面上干涉条纹的大致形状如图 p2-6-2 所示。
图 p2-6-2 （2）两光束夹角 1 10 时， 1 5 ，
0
d1
2sin 1
0.633 m 3.63 m 2sin 5
与 z 轴夹角分别为 、 0、 。 2.7 如图 p2-7 所示， 三束相干平行光传播方向均与 xz 平面平行， 光波波长为 ，振幅之比 A1 : A2 : A3 1 : 2 : 1 。设它们的偏振方向均垂直于 xz 平面，在原 点 o 处的初相位 10 20 30 0 。求在 z 0 的平面上 (1) 合成振幅分布 (2) 光强分布 (3) 条纹间距
（2）设p=0.2mm，Z 0 、Z 1 不变，改变P 1 P 2 之间的孔距d，当可见度第一次为 0 时 d=? （3）仍设 p=0.2mm，若 d=3mm， Z 0 1m .求 0 面上 z 轴附近的可见度函数。
图 p2-5
pd sin pd Z0 sin c 解答： （1）由(2-106)式 V pd Z0 Z0
l
N
2
Байду номын сангаас
0.032 m （32nm）
一次测长量程 l M 由相干长度 l c 所决定， 2l M l c
2.2
lM
1 1 2 lc 2m 2 2
雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色， 解释为什么油膜较厚时彩色消失。 解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超 过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。 2.3 计算下列光的相干长度 (1)高压汞灯的绿线， 546.1nm (2)HeNe 激光器发出的光， 633nm 解答：计算相干长度 （1） （2）
5nm 1MHz
Lc
2 59.6 m c Lc 300m
2.4 在杨氏双缝实验中 （1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为 1:2， 求产生的干涉条纹可见度。 （2）若以直径为 0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于 1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设 =550nm 解答： （1）
干涉条纹的间距
d
D
d 2 sin 2 sin
2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为 1 和 2 的光，光强均为I 0 ，双孔距 离为d，孔所在的屏与观察屏的距离为D，求： （1）观察屏上条纹的可见度函数。 （2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。 （3）设 1 =5890 A ， 2 =5896 A ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第 一次为 0 时在观察屏上的位置。 解答：
图 p2-8-1 解答：
图 p2-8-2 由P 1 P 2 点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与 z 轴的夹角大小为 ，两 束光重叠区域 z 坐标的最大值为 Z 0 。当观察屏 由 z 0 开始向右移动时屏上干涉区域的横 向宽度为 X 。 （1） 条纹垂直于纸面，间距
sin
2 (i ) cos exp E z 2 E0 kz // 2
由（1-81）式电能密度的时间平均值
Re( E D * )
1 4
0n2
4
Re( E E * )
0n2
4
* * Ez Ez (E x E x )
0n2
图 p2-7 解答： （1）三束光在 xoy 平面上的复振幅分布分别为
U 1 ( x, y ) A exp( jkx sin ) U 2 ( x, y ) 2 A U 3 ( x, y ) A exp( jkx sin )
总的复振幅分布
U ( x, y ) U 1 U 2 U 3 2 A1 cos(kx sin )
k1 2
，
其中
1
k2
2
2
图 p2.10
d d 2k k1 k 2 以及 k k1 k 2 ，I ( x) 表达式中有一个函数 cos k x cos k x ，它是周 D D kdx kd 期函数 cos x 的振幅包络所调制的结果(见图 P2-10)， 条纹的可见度 被一个 cos D D
图 p2-9 维纳驻波实验
解答：
(i ) （1）入射光的偏振方向垂直于入射面时 E 0 // 0 ，在入射角 45 时由（2-41）式给出
Ex 0 2 (i ) E y 2 E 0 kz exp sin 2 Ez 0 2 j t kx 2 2
I I 0 2 I 0 2 I 0 2 I 0 cos
P0
V
dP0
2 2 3
（2）由(2-104)式
b
d
b
b 0.182 M
2.5 图p2-5 所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p，光源波长为 5893 A ，针孔P 1 、P 2 大小 相同，相距为d，Z 0 =1m， Z 1 =1m （1）当两孔P 1 、P 2 相距d=2mm时，计算光源的宽度由 p =0 增大到 0.1mm时观察屏上可见 度变化范围。
(i ) （2）入射光的偏振方向平行于入射面时， E 0 0 ，在入射角 45 时，由（2-41）式给
出
2 (i ) exp E x 2 E0 kz // sin 2 Ey 0
2 j t kx 2 2 2 j t kx 2
（2）在 xoy 平面上光强分布
I ( x, y ) U ( x, y )
（3）条纹间距
2
4 A 2 1 cos(kx sin )2
x
2 k sin 2.8 如图p2-8 所示，S为一单色点光源，P 1 、P 2 为大小相同的小孔，孔径间距为 d ，透镜的 半径为 a ，焦距为f，P 1 、P 2 关于z轴对称。 （1）若在观察平面 上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？ （2）当观察屏 的位置由 Z=0 开始增大时，求 面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条 纹总数与 Z 的关系。
2( Z 0 z )a d 2a z Z0 f
2a d z f
条纹总数
N
X 2d (2af dz ) 2 2 l ( d 2 4 f 2 )1/ 2 f d 4 f 2d
2.9 在图 P2-9 所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以 45 角入射。对于以下两种 情况，求电能密度的时间平均值 (1) 入射光的偏振方向垂直于入射面； (2) 入射光的偏振方向平行于入射面； (3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中 乳胶膜与镜 M 成 角时，求乳胶膜 F 上条纹的间距。
d V ( x) cos k x D
（2）可见度变化周期
lT
d k D
D
k d
条纹间距为
2 2 D d k d k D 在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为 N ，则有 l
D lT ( x) kd k N 2D 2k 2 l kd
0
，
f1
1 276 条/mm d1
两光束夹角 2 30 时，
2 15 ，
f2
d2
2sin 2
0.633 m 1.22 m ， 2sin15
1 820 条/mm d2
（3） 由
1 0 和 633nm 计算得到 78.5 mm 2000 2sin 2