初高中衔接教材之 因式分解

二、因式分解

2-1因式与倍式

如同因子与倍数的概念，如果代数式A 可以写成代数式B 与代数式C 的乘积，即

A =

B ⨯

C 。

此时，我们说B 与C 是A 的因式，而A 是B 与C 的倍式。例如：由

232(1)(2)x x x x ++=++，可知1x +与2x +皆为232x x ++的因式，而

232x x ++为1x +与2x +的倍式；由22()()x y x y x y -=+-，可知x y +与

x y -皆为22x y -的因式，而22x y -为x y +与x y -的倍式。下面就让我们

先从多项式的除法来认识因式与倍式。 【多项式的除法】

在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：

同时，我们也知道：

58=13 ⨯ 4+6

类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。

【范例1】求2(42)(1)x x x ++÷+的商式及余式。

4 13）58 52 6

【解】 方法一：直式算法 方法二：分离系数法

答：商式为3x +，余式为1-。

在自然数的除法，我们有下列的规则：

其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：

其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。

在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 ⨯ 商式+余式」的概念来验算。例如： (1)(3)(1)x x +++- （除式⨯商式+余式）

=2431x x ++- =242x x ++

（被除式）

【范例2】求32(255)(2)x x x x +++÷+的商式及余式。 【解】

答：商式为2x 2+x -1，余式为7。

使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。

1+3 1+1 ）1+4+2 1+1 3+2 3+3 -1 2+1-1 1+2 ）2+5+1+5 2+4 1+1 1+2 -1+5 -1-2 7

x +3 ）x 2+

4x +2

【范例3】 求(3x 2+2)÷(2x -1)的商式及余式。

【解】 因为2232302x x x +=+⋅+，所以用3+0+2来表示3x 2+2。

答：商式为32x +

34，余式为324

。 【范例4】 求322(6748)(32)x x x x x --+÷+-的商式及余式。 【解】

答：商式为2x -3，余式为3x +2。

【范例5】 求(3x 3+8x 2+7x +2)÷(x 2+2x +1)的商式及余式。 【解】

答：商式为3x +2，余式为0。

【类题练习1】求下列各除法运算的商式及余式：

(1) 2(25)(3)x x x ++÷+ (2) 2(651)(21)x x x -++÷- (3) 4(1)(1)x x -÷- (4) )5()52(2+÷+x x x

3+2 1+2+1）3+8+7+2 3+6+3 2+4+2 2+4+2 0

2-3 3+1-2 ）6-7-4+8 6+2-4 -9+0+8 -9-3+6 3+2

32+3

4

2-1 ）3 + 0 +2

3 -3

2

3

2

+2 32

-3

4

324

当余式为零多项式时，我们称除式整除被除式，例如：在范例5中，x 2+2x +1整除3x 3+8x 2+7x +2。这时，x 2+2x +1与3x +2为3x 3+8x 2+7x +2的因式，而3x 3+8x 2+7x +2为x 2+2x +1与3x +2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x +2不为零多项式，所以232x x +-与2x -3都不是

326748x x x --+的因式。

我们知道两个x 的一次式乘积展开后成为x 的二次多项式。反过来说，如果能将一个x 的二次式写成两个x 的一次式的乘积，我们称这样的过程为这个二次式的因式分解。

在高中的课程中，我们也会将一个多项式写成几个一次或二次的多项式的连乘积，这样的过程也称为这个多项式的因式分解。例如：

22x x --=(1)(2)x x +-

326116x x x -+-== (1)(2)(3)x x x ---

在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数（整数或分数）的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。在2-2至2-4节中，我们将介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5节中补充利用配方法做因式分解。

因式分解

乘积展开 因式分解

乘积展开

【家庭作业】

基础题

1. 求下列各除法运算的商式及余式：

○

1 2(9188)(34)x x x ++÷+ ○

2 2(7113)(23)x x x +-÷+ ○

3 3(1)(1)x x +÷- ○

4 3(21)(5)x x x +-÷- ○

5 432(24)(32)x x x x x +-+÷+- ○

6 42(1)(1)x x +÷- 2. 已知1)22)((3136323++-+=+-x x b ax x x ，求a 、b 的值。

3. 已知某多项式除以)12(-x ，可得商式)12(2+-x x ，余式3，求此多项式。

4. 已知k x x +-1343可被(21)x +整除，求k 的值。

5. 已知一长方体的体积为6423-++x x x 、长为3+x 且宽为2+x ，求此长方体的高。

进阶题

6. 若多项式A 除以21x +得商式B ，余式为3；多项式B 除以2x -得余式为2-，求多项式A 除以(21)(2)x x +-所得的余式。

7. 求以1x -除2102(1)1x x x -++-所得的余式。