专题08利用空间向量证明平行、垂直(原卷版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练

08利用空间向量证明平行、垂直

一、考点传真：

能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系

二、知识点梳理：

证明平行、垂直问题的思路

(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.

三、例题：

例1.（2020年浙江卷，19）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，

2DC BC =。

（1）证明：EF DB ⊥；

（2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.

例2.（2020年全国1卷理数，18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO =.

(1)证明：PA ⊥平面PBC ；

(2)求二面角B PC E --的余弦值.

例3. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

例4.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，

，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD

=AC CD =

=PD ⊥PAB PB PCD

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 例5.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，

BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点

．

求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；

（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．

四、巩固练习：

1. 如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.

求证:(1)PB ∥平面EFH;

(2)PD ⊥平面AHF.

2. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，

上的动点，且PQ =P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．

3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．

PA M //BM PCD AM

AP

(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M－CDE的体积；

(2)求证：DM⊥平面ACE.

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF；

5．如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在, BAD=90°,PA=BC=1

2

请说明理由.

6. 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：

(1)PA ⊥BD ；

(2)平面PAD ⊥平面PAB .

7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.

(1)证明：AC ⊥A 1B ；

(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λPA 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.

8. 在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,PD=DC, E,F 分别是AB,PB 的中点.

(1)求证:EF ⊥CD;

(2)在平面PAD 内是否存在一点G,使GF ⊥平面PCB?若存在,求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.