独立重复试验与二项分布

C10 10
0.810
1 0.8
1010
0.68
(3) 设至少投篮n次保证命中的概率大于0.99
P命 中 1 P X 0 1 (1 0.8)n 1 0.2n 0.99
n 2.86 故至 少 投篮 3次.
【思维总结】 解答此类题目，首先分析随机变 量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用 P(X=k)＝Cknpk·(1－p)n－k 计算即可．
（二）构建模型
2、二项分布概率模型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
X
0
1…
k
…
n
p
… Cn0 p0qn
判断下列试验是不是独立重复试验：
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 不是
2).某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4
次射击，只命中一次；
是
3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次
抽取5个球,恰好抽出4个白球;
不是
4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回
假设体委在投篮时命中的概率是0.8. 求他在10次投篮中， (1)恰有8次命中的概率; (2)至少有8次命中的概率; (3)要保证命中的概率大于0.99，至少他要投篮 多少次. (结果保留两个有效数字)
【分析】由于10次投篮是相互独立的重复试验，且结果
只有两种(或命中或未命中)，符合独立重复试验模型．
＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024
＝0.92224．
运用n次独立重复试验模型解题
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，
规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止 比赛）．
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率． 【分析】由于每局比赛是相互独立的，且结果只有两 种(或甲胜或乙胜)，符合独立重复试验模型．
解：设X为命中的次数,则X~B(10,0.8)
(1)在10次投篮中,恰有8次命中的概率为
PX 8 C180 0.88 1 0.8 108 0.30
(2)在10次投篮,至少8次命中的概率为
PX 8 PX 8 PX 9 PX 10
C180 0.88 1 0.8 108 C190 0.89 1 0.8 109
问题 上面这些试验有什么共同的特点？
提示：从下面几个方面探究： （1) 实验的条件； （2）每次实验间的关系； （3）每次试验可能的结果； （4）每次试验的概率； （5）每个试验事件发生的次数
引入：观察下面的试验
1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。 2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率 为0.7，现有气球10个。 3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。
（一） 形成概念
1.独立重复试验：
一般地，在相同条件下重复做的n次试验 称为n次独立重复试验 注意
⑴独立重复试验，是在相同条件下各次之 间相互独立地进行的一种试验(即各次实验的 结果不会受到其他实验结果的影响)；
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An )
⑵每次试验只有“发生”或“不发生”两 种可能结果；每次试验“发生”的概率为p ， “不发生”的概率为1-p.
的抽取5个球,恰好抽出4个白球。
是
5).我们班篮球队5个同学罚球时，依次每人罚球一个，
一共罚球5个。
不是
注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验
（二）构建模型 探究： 体委每次罚球命中的概率为p，罚不中的概率
是q=1-p .在连续3次罚球中体委恰好命中1次的概 率是多少？那么恰好命中0次、2次、3次的概率是 多少?你能给出一个统一的公式吗？
2015-6-3
复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都 是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简 便.
(1) P( A B) P( A) P(B) （当 A与B 互斥时）；
那么还有那些概率模型呢？
引入：观察下面的试验
1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。 2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率 为0.7，现有气球10个。 3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. (2)重复性,即试验独立重复地进行了n次. (3)随机变量是事件发生的次数.
（五） 提炼步骤
应用二项分布模型解决实际问题的步骤： （1）判断问题是否为独立重复试验； （2）在不同的实际问题中找出概率模型 中的n、k、p； （3）运用公式求概率。
② 事件“第二次命中”表示第一、三、四、五次命中或 命不中都可，它不同于“命中一次”，也不同于“第二次 命中，其他各次都不中”，不能用公式．它的概率就是 0.4．
③n＝5，k＝2，
P( X 2) C52 p2 (1 p)3 0.3456.
运用n次独立重复试验模型解题
例2 设一篮球队员平均每投篮10次命中4次，求在五次 投篮中①命中一次，②第二次命中，③命中两次，④第 二、三两次命中，⑤至少命中一次的概率．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
1 3 3 1 ．答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 16 16 2
2
小结：
1、 n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的 n 次试验称
运用n次独立重复试验模型解题
例2、设一篮球队员平均每投篮10次命中4次，求在五次 投篮中①命中一次，②第二次命中，③命中两次，④第 二、三两次命中，⑤至少命中一次的概率．
解：由题设，此队员投篮1次，命中的概率为0.4．
① n＝5，k＝1，应用公式得
P( X 1) C51 p(1 p)4 0.2592.
为 n 次独立重复试验.
2、二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
Pn (k ) cnk pkqnk 是( p q)n 展开式中的第 k 1 项.
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
解：
④“第二、三两次命中”表示第一次、第四次及第五 次可中可不中，所以概率为0.4×0.4＝0.16．
⑤设“至少命中一次”为事件B，则B包括“命中一次”， “命中两次”，“命中三次”，“命中四次”，“命中 五次”，所以概率为
P(B) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 1 P(X 0) P( X 4) P( X 5)
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
来自百度文库
C
2 4
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
问题 上面这些试验有什么共同的特点？
④每次出现“发生”的概率相同，为p， “不发生”的概率也相同，为1-p；
⑤试验”发生”或“不发生”可以计数，即 试验结果对应于一个离散型随机变量.
（一） 形成概念
特点： 1).每次试验是在同样的条件下重复进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的； 5).每次试验，某事件发生的次数是可以列举的.
PB3 PA1A2 A3 p3 C33 p3q33
恰好命中k（0≦k ≦3）次的概率是多少？
PBk C3k pk q3k , k 0,1,2,3
（二）构建模型
在 n 次试验中，有些试验结果为 A，有些试验 结果为 A ，所以总结果是几个 A 同几个 A 的一 种搭配，要求总结果中事件 A 恰好发生 k 次， 就是 k 个 A 同 n－k 个 A 的一种搭配，搭配种 类为 Ckn；其次，每一种搭配发生的概率为 pk·(1 －p)n－k，所以 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.
C
1 n
p1q
n
1
… Cnk pk qnk
Cnn pnq0
此时称随机变量X服从二项分布，记作:X~B(n,p),并 称p为成功概率。
分析公式的特点： 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
P( X k ) Cnk Pk (1 P)nk
（1）n,p,k分别表示什么意义？ （2）这个公式和前面学习的哪部分内容
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并 称p为成功概率。
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中
取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N
⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
（四）模型应用
问题 上面这些试验有什么共同的特点？
①包含了n个相同的试验；
5次、10次、6次、5次
②每次试验相互独立；
③每次试验只有两种可能的结果：“发生”或 “不发生”
引入：观察下面的试验
1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。 2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率 为0.7，现有气球10个。 3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。
对于k=0,1,2,3分别讨论
P B0 P A1 A2 A3 q3 C30 p0q30
P B1 P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3 3q2 p C31 p1q31 P B2 P A1A2 A3 P A2 A2 A3 P A1A2 A3 3qp2 C32 p2q32
有类似之处？
恰为 [(1 P) P]n
展开式中的第
k 1项 Tk1
C
k n
(1
P)nk
P
k
（三）模型辨析
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
（三）模型辨析
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
用Ai(i=1,2,3)表示第i次命中的事件 B1表示“恰好命中1次”的事件
B1 A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3
P B1 P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3
＝q2 p q2 p q2 p 3q2 p
恰好命中k（0≦k ≦3）次的概率是多少？