测度与可测函数

第一章 实变函数初步
第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数 •勒贝格测度与勒贝格可测集 •可测函数 •可测函数列的极限问题 测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广
一、点集的勒贝格测度与可测集
1. 几个特殊点集的测度 (1) 设E为直线R上的有限区间[a,b](或(a,b)或[a,b)或(a,b]), 则其测度定义为：
现在我们可以定义开集和闭集的测度. 定义4 设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G), (ai,bi)(iI)为G的构成区 间，则定义 m(G)=(bi–ai) (0<m(G)<b-a)
定义5 设F(a,b)R为有界闭集，G=(a,b) −F, 则定义：
m(F)=(b-a) −m(G) 注: m(F)0, 且m(F)的值与区间(a,b)的选取无关.
定义3 设G是直线R上的一个有界开集。如果开区间(, ) 满足条件:
1) (, )G
2) G, G
则称(, )为开集G 的一个构成区间
定理1（开集的构造定理）设GR为有界开集.
(1) 对aG，必有G的一个构成区间(,)，使得a(,)；
(2) G可以表示为至多可数个互不相交的构成区间的并，
即G= (k,k). (其中(k,k) ∩(i,i)=)， (k,k)为G的构成区间.
>0, 开集G E 和闭集FE,使
“” >0, 开集G和闭集F,使FEG, 且m(G-F)<
m(F)m(E)m(E) m(G)
m(E)-m(E)<m(G)-m(F)<
m(E)m(E) (由的任意性）
例1 有限集是有界闭集, 其测度为零. 证：应用“有限可加性”或“闭记的定义”
例2 任何有界的可数点集是L可测集，且其测度为零. 证：应用“可列可加性”.
3.直线上一般有界点集的勒贝Fra Baidu bibliotek（Lebesgue)测度
定义6（确界）设AR使非空数集。
（1）如果存在一个实数，满足： 1）xA ，有x ； 2） >0, x0> −
则称 为A的上确界, 记作： （2）如果存在一个实数 ，满足：
1） xA ，有x ； （2） >0, x0< + , 则称 为A的下确界, 记作：
4.可测集的性质
定理3 设X=(a,b)是基本集(有界), E, EiX (i=1,2,…)均为有界可测集, 则有 EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且
1) m(E)0, 且E=时, m(E)=0 2) 若E1E2, 则 m(E1) m(E2)
m(E2–E1)=m(E2)-m(E1)
注: 1)无界点集的测度可能是有限值, 也可能是无穷大. 例如, 有理数集Q是无界的零测集, E=(0,+)是测度为+的可测集.
2)对于无界集, 上述定理3的结论也成立.
2）L可测集类与波赖尔(Borel)集 定义5 (1) R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类.
(2) 对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到 的集合称为波赖尔(Borel)集. 所有波赖尔(Borel)集都是L可测集.
注: (1) 有理点集合无力点集都是非开非闭集。 (2) [0, 1]中的有理点集是可列集，因而是L可测集，且其测度为零.
（3）[0, 1]中的无理点集虽然是不可列集, 但它是L可测集，且其测度为1.
5.几个值得注意的问题 1）关于无界集的测度问题 定义4 设ER为任一无界点集，如果对x>0, 有界集(-x, x)E可测, 则称E 是可测的. 并记
注：大多数集合都是L可测集，但L不可测集确实存在.
二、点集上的勒贝格可测函数
(3) 如果m(E)=m(E), 则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度，记为 m(E), 即 m(E)=m*(E)=m(E)
这时, 也称E是勒贝格可测集(简称L可测集)
注: 1)对于有界开集G, 有m(G)=m*(G) 2)对于有界闭集F, 有m(F)=m(F) 3)对于任一非空有界集E, 有m(E)m*(E) (根据定义)
m(E)=m([a,b])=b-a. (2) 设E为平面上有界闭区域D, 则其测度定义为: m(E)=SD
(3) 设E为空间上有界闭区域, 则其测度定义为:m(E)=V
(4) 若E =，则定义m(E)=m()= 0
(5) 若E={x}是单点集，则定义m(E)=0 (6) 若E为一随机事件，则定义m(E)=P(E) (古典概率）
注: 如果a为数集A的上（下）确界，则存在数列{xn} A, 使得
定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。
3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度 定义7 设ER为任一有界集. (1) 称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度，记为m*(E), 即 m*(E)=inf { m(G)| G为有界开集, EG } (2) 称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度，记为m(E), 即 m(E)= sup{m(F)| F为有界闭集, FE}
(非负性) (单调性)
3) m(E1E2)m(E1)+m(E2)
(次可加性)
4) 若E1E2=, 则m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性) 5) 若Ei Ej= (ij, i,j=1,2,…), 则m(Ei)=m(Ei) (可列可加性)
定理4 设X=(a,b)是基本集, {Ek}是X上的可测集列。 1) 若E1 E2… Ek…, 则E=Ek可测, m(E)=lim m(Ek) 2) 若E1 E2… Ek…, 则E=Ek可测, m(E)=lim m(Ek) 定理5 设ER有界, 则E 可测存在开集G和闭集F,使 FEG, 且m(G-F)< 证: “” E可测 m(E)= m*(E)=m(E)
2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度
定义1 设E R非空点集，a R.
(1) 设 >0, 称开区间(a , a + )=O(a, )为a 的邻域。 直线上包含a的任一开区间(, )均可称为点a的邻域
(2) 设aE, 若存在a的一个邻域(,),使得(,) E，则称a是E的内点；
定义2 设E R非空点集. 如果E中的所有点都是内点，则称E是开集；