空气污染研究的主成分分析
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针对问题一，首先将数据标准化，计算样本协方差矩阵和相关矩 阵，然后分别计算样本协方差矩阵和相关矩阵的特征值和特征向量， 贡献率和累计贡献率，确定选取成分个数，列出主成分方程并解释主 成分意义。
针对问题二，考虑主成分的贡献率，只要主成分的累计贡献率达 到 80%，就可以反映原始数据的变化，并且对所选取的主成分做出解
Yi ei1x1 ei2x 2 ei3x3 eip x p ,(i 1,2,3, ,p)
(1) 根 据 已 有 数 据 计 算 得 样 本 x (x1, x2, x3,, xp )T 的 均 值 向 量 x (x1, x2, x3,, xp )T 为 根据协方差矩阵计算公式
1 n 1
0.5927
0.5123
-0.4373
0.7452
0.2305
0.2350
0.4922
-0.6714
0.1745
0.4884
0.3553
0.6072
由表
4
可看出，Y1 与
X 3、
X
5
相关度较高，
Y1
近似是
7
个变量
的等权重之和，反映了空气质量的综合指标，Y1 值越大，空气质量越
差。
Y2
与
X
3
相关度较低，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向
利用第i 个主成分的贡献率
p
i
k
k 1
(3)
及前 k 个主成分的累计贡献率
k
p
s t
s 1
t 1
(4
) 代入数据计算得 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表 1 所 示 ）， 可 以 看 出 ， 前 三 个 标 准 化 样 本 的 累 计 贡 献 率 已 经 达 到
98.6968%，故只需提取前三个主成分即可：
Y1 近似是 7 个变量的等权重之和，反映了空气质量的综合指标， Y1 值越大，空气质量越差。综合考虑来Y1 ，Y2 和Y3 来评判影响空气 污染的重要指标。 六、模型评价 模型优点： （1） 用主成分分析方法能够较好地揭示污染物于污染程度之间的关
系； （2） 该模型所用工具较易操作； （3） 主成分分析法是从定量的角度出发，充分利用全部数据当中所
0.0740
0.0626
0.4111
-0.1274
-0.2369
0.9585
-0.3521
-0.9299
-0.1041
-0.0613
-0.1824
0.4168
由表可看出，Y1 与 x2 相关度较高，而由相关矩阵的主成分权重系 数（即特征向量 e1 中的各个值）知，太阳辐射对空气污染的影响最大； Y2 与 x6 相关度较高，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e2 中 的各个值）知，O3 对空气污染的影响较大；Y3 与 x5 相关度较高，同理， 由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e3 中的各个值）知，NO2 对 空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率依次降低，得出结 论：影响空气污染的最重要因素为太阳辐射。由于 x2 的方差较大，第
97.7729
7
0.1559
2.2271
100.00
可以看出，当特征值大于 1 时，提取前三个标准化样本的累计贡献率
为 70.3833%。
记主成分向量为 由
Y (Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7)
Y PT X , P (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7) 则 X 的前三个主成分分别为
符号含义
样本方差
原始变量
样本主成分
样本协方差
样本相关矩阵
样本平均值
协方差矩阵
特征向量矩阵
矩阵的特征值
矩阵的特征向量
信息提取率
五、问题求解
5.1 协方差矩阵主成分分析
设 是 x (x1, x2, x3,, xp )T 的协方差矩阵， 的特征值与正交化特征向 量分别为 1 2 3 p 0 及 e1, e2 , e3 ,, ep ，且 x 的第 i 个主成分为
空气污染研究的主成分分析
一、提出问题 本文对于给定的某城市 42 天中午 12 点的空气污染数据进行主成
分分析，主要解决以下几个问题： （1） 分别用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，对比二
者的结果差异； （2） 对原始数据的变化选取三个或者更少的主成分反映，并对所选
的主成分做出解释。 二、分析问题
包含的信息。所确定的指标权数是基于数据分析而得到的指标 间的内在结构关系，具有较好的客观性；能有效消除不相关指 标的影响，从而可进行有针对性的定量化评价；得到的综合指 标之间相互独立，不仅简化了评价系统，还减少了信息的交叉
和冗余。 （4） 方法计算简便，数学物理意义明确，有较强的可操作性和一定
的推广应用。 模型缺点： （1） 尚未考虑到其他变量的影响，存在预测误差； （2） 该模型未给出图像，难以反映各变量对空气污染程度的影响； （3） 从主成分分析方法本身来看，还有许多方面是不能替代定性分
5.3 差异性
从协方差矩阵出发，对所有变量进行主成分分析，何从相关矩阵
出发做主成分分析，两个方向得出的结果显示，原变量在第一主成分
和第二主成分中的相对重要性，由于标准化而有很大变化。从协方差
矩阵的角度进行主成分分析，所得第一主成分中，权重系数分别为
-0.01、0.9922、0.941、-0.0047、0.0243、0.1124、0.0023，二重相对
析方法的，只能说它在定性向定量转化过程中发挥了一定的效 能。 模型推广： 利用主成分综合原始变量的信息，达到降低原始变量维数的目 的，进而利用前几个主成分的得分的低维数据做进一步分析，有主成 分分析法构造回归模型，把各成分作为新的自变量代替原始自变量 x 作回归分析。
矩阵的角度进行主成分分析，所得的第一主成分分析，权重系数为 -0.238、0.2056、0.5511、0.3776、0.4980、0.3246、0.3194。两者差距 很大，并且在第二主成分中的两个系数相差更远。因此，由协方差矩 阵和相关矩阵所得的主成分一般是不同的。
为了满足样本主成分累计贡献率达到 80%以上，从相关矩阵出发 做的主成分分析应保留 4 个主成分，而从协方差矩阵来看，只保留 1 个主成分即可。由此可知，用协方差矩阵进行主成分分析更能简化运 算。本文中，由于设计的各变量的变化范围差异不大，因此应从先关 矩阵出发求主成分比较合理。
释。
三、模型假设
1、影响污染程度的变量只有本文中所提到的变量；
2、随机选取的 42 天； 3、题目中所提到的城市是平衡发展，政府对环境治理干预较小，即
此城市的环境不会出现强烈波动；
4、题目中所给的污染浓度及气象参数有效，数据都准确可靠，同时 不考虑人为因素、检测仪器精确度不同等影响。
四、符号说明
符号
0.1517
99.9398
7 记主成分向量为 由
0.2096
0.0601
100.0000
Y (Y1,Y2 ,Y3 ,Y4 ,Y5 .Y6 ,Y7 )
Y PT X , P (e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 )
知 x 的前三个主成分分别为
因此，用前三个主成分代替原来 7 个变量，信息损失量较小。
量
e2
中的各个值）知，CO
对空气污染指标
y2
的影响较小；Y3
与
X
1
、
X 7 相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e3
中的各个值）知，风速和 HC 对空气污染的影响较大。考虑前三个主
成分的贡献率之和达到 70.3833%，因此综合考虑来Y1 ，Y2 和Y3 来评
判影响空气污染的重要指标。
进一步由Yi 与 X i 的相关系数
Yi ,xi
i jj
eij
(5
)
计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如下表：
原
相关 变
系
表主2成前分三个主成分与各原始变量的相关系数 数
量
0.1087
0.2576
-0.0672
-0.9994
0.0357
-0.0014
-0.1937
-0.4181
0.4675
主成分分析旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合 指标。在实际问题研究中，为了系统、全面地分析问题，我们必须考 虑众多影响因素。因为每个因素都在不同程度上反映了所研究问题的 某些信息，并且指标之间有一定的相关性，因而所得到的统计数据反 映的信息在一定程度上有重叠。本文中所研究的问题变量较多，因此 利用主成分分析法研究本问题，减少计算量和降低分析问题的复杂 性。
利用特征值计算公式 E 0代入数据可求得 的特征值 i 与单位 正交化特征向量 ei(i 1,2,3,,7) 分别为
利用第i 个主成分的贡献率
i p
(8)
及前 k 个主成分的累计贡献率
k
s p
s 1
(9) 其中 p 7 。计算 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表 3 所示）。
此时，由于
X
(
X1
,
X
2
,
X
3
,
X
4,
X
5
,
X
6
,
X
7
)T
的协方差矩阵即为
x (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 )T 的相关矩阵 (ij ) p p 其中
ij
E( X i ,Yj )
Cov( X i , X ii jj
j)
(7) Cov( X i , X j ) 为 X i , X j 的协方差。 代入数据计算得到样本相关矩阵为
表 1 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率
贡献率(%)
累计贡献率 （%）
1
304.2579
87.2948
87.2948
2
28.2761
8.1127
95.4075
3
11.4645
3.2893
98.6968
4
2.5243
0.7242
99.4210
5
1.2795
0.3671
99.7881
6
0.5287
一主成分主要由变量 x2 控制，所以所得结论与实际不符。
5.2 样本相关矩阵主成分分析
利用标准化公式对原数据 X （x1, x2,, x7）进行标准化处理得到一
组新的数据
X
*
(
X
* 1
,
X
* 2
,,
X
* 7
)
：
即令
Xi
xi
i ii
,i
1,2,,7
(6)
其中 i 为 xi 的平均值， ii 为 xi 的方差。
n i1
(xi
x)( xi
x)T
(2) 代入数据可求得随机变量 x (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 )T 相应的样本协方差矩 阵为
利用特征值计算公式 E 0代入数据可求得 的特征值 i 与对应 单位正交化特征向量 ei (i 1,2,,7) 分别为 1 303 .6941 ， 2 28.3132 , 3 11.4674 , 4 2.5494 , 5 1.4703 , 6 0.5479 , 7 0.2243 ,
表 3 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率
贡献率(%)
累计贡献率 （%）
1
2.3368
33.3824
33.3824
2
1.3860
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19.7997
53.1821
3
1.2041
17.2012
70.3833
4
0.7271
10.3870
80.7703
5
0.6535
9.3356
90.1059
6
0.5367
7.6670
由Yi 与 X i 的相关系数
(10)
e Yi , Xi
i ij
计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如表：
原
相 变
关
表主4 前三个主成分与各原始变量的相关系数 成
系分 量数
-0.3681
0.3255
0.6936
0.3145
-0.6202
0.2502
0.8307
-0.0046
-0.1467
针对问题二，考虑主成分的贡献率，只要主成分的累计贡献率达 到 80%，就可以反映原始数据的变化，并且对所选取的主成分做出解
Yi ei1x1 ei2x 2 ei3x3 eip x p ,(i 1,2,3, ,p)
(1) 根 据 已 有 数 据 计 算 得 样 本 x (x1, x2, x3,, xp )T 的 均 值 向 量 x (x1, x2, x3,, xp )T 为 根据协方差矩阵计算公式
1 n 1
0.5927
0.5123
-0.4373
0.7452
0.2305
0.2350
0.4922
-0.6714
0.1745
0.4884
0.3553
0.6072
由表
4
可看出，Y1 与
X 3、
X
5
相关度较高，
Y1
近似是
7
个变量
的等权重之和，反映了空气质量的综合指标，Y1 值越大，空气质量越
差。
Y2
与
X
3
相关度较低，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向
利用第i 个主成分的贡献率
p
i
k
k 1
(3)
及前 k 个主成分的累计贡献率
k
p
s t
s 1
t 1
(4
) 代入数据计算得 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表 1 所 示 ）， 可 以 看 出 ， 前 三 个 标 准 化 样 本 的 累 计 贡 献 率 已 经 达 到
98.6968%，故只需提取前三个主成分即可：
Y1 近似是 7 个变量的等权重之和，反映了空气质量的综合指标， Y1 值越大，空气质量越差。综合考虑来Y1 ，Y2 和Y3 来评判影响空气 污染的重要指标。 六、模型评价 模型优点： （1） 用主成分分析方法能够较好地揭示污染物于污染程度之间的关
系； （2） 该模型所用工具较易操作； （3） 主成分分析法是从定量的角度出发，充分利用全部数据当中所
0.0740
0.0626
0.4111
-0.1274
-0.2369
0.9585
-0.3521
-0.9299
-0.1041
-0.0613
-0.1824
0.4168
由表可看出，Y1 与 x2 相关度较高，而由相关矩阵的主成分权重系 数（即特征向量 e1 中的各个值）知，太阳辐射对空气污染的影响最大； Y2 与 x6 相关度较高，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e2 中 的各个值）知，O3 对空气污染的影响较大；Y3 与 x5 相关度较高，同理， 由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e3 中的各个值）知，NO2 对 空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率依次降低，得出结 论：影响空气污染的最重要因素为太阳辐射。由于 x2 的方差较大，第
97.7729
7
0.1559
2.2271
100.00
可以看出，当特征值大于 1 时，提取前三个标准化样本的累计贡献率
为 70.3833%。
记主成分向量为 由
Y (Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7)
Y PT X , P (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7) 则 X 的前三个主成分分别为
符号含义
样本方差
原始变量
样本主成分
样本协方差
样本相关矩阵
样本平均值
协方差矩阵
特征向量矩阵
矩阵的特征值
矩阵的特征向量
信息提取率
五、问题求解
5.1 协方差矩阵主成分分析
设 是 x (x1, x2, x3,, xp )T 的协方差矩阵， 的特征值与正交化特征向 量分别为 1 2 3 p 0 及 e1, e2 , e3 ,, ep ，且 x 的第 i 个主成分为
空气污染研究的主成分分析
一、提出问题 本文对于给定的某城市 42 天中午 12 点的空气污染数据进行主成
分分析，主要解决以下几个问题： （1） 分别用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，对比二
者的结果差异； （2） 对原始数据的变化选取三个或者更少的主成分反映，并对所选
的主成分做出解释。 二、分析问题
包含的信息。所确定的指标权数是基于数据分析而得到的指标 间的内在结构关系，具有较好的客观性；能有效消除不相关指 标的影响，从而可进行有针对性的定量化评价；得到的综合指 标之间相互独立，不仅简化了评价系统，还减少了信息的交叉
和冗余。 （4） 方法计算简便，数学物理意义明确，有较强的可操作性和一定
的推广应用。 模型缺点： （1） 尚未考虑到其他变量的影响，存在预测误差； （2） 该模型未给出图像，难以反映各变量对空气污染程度的影响； （3） 从主成分分析方法本身来看，还有许多方面是不能替代定性分
5.3 差异性
从协方差矩阵出发，对所有变量进行主成分分析，何从相关矩阵
出发做主成分分析，两个方向得出的结果显示，原变量在第一主成分
和第二主成分中的相对重要性，由于标准化而有很大变化。从协方差
矩阵的角度进行主成分分析，所得第一主成分中，权重系数分别为
-0.01、0.9922、0.941、-0.0047、0.0243、0.1124、0.0023，二重相对
析方法的，只能说它在定性向定量转化过程中发挥了一定的效 能。 模型推广： 利用主成分综合原始变量的信息，达到降低原始变量维数的目 的，进而利用前几个主成分的得分的低维数据做进一步分析，有主成 分分析法构造回归模型，把各成分作为新的自变量代替原始自变量 x 作回归分析。
矩阵的角度进行主成分分析，所得的第一主成分分析，权重系数为 -0.238、0.2056、0.5511、0.3776、0.4980、0.3246、0.3194。两者差距 很大，并且在第二主成分中的两个系数相差更远。因此，由协方差矩 阵和相关矩阵所得的主成分一般是不同的。
为了满足样本主成分累计贡献率达到 80%以上，从相关矩阵出发 做的主成分分析应保留 4 个主成分，而从协方差矩阵来看，只保留 1 个主成分即可。由此可知，用协方差矩阵进行主成分分析更能简化运 算。本文中，由于设计的各变量的变化范围差异不大，因此应从先关 矩阵出发求主成分比较合理。
释。
三、模型假设
1、影响污染程度的变量只有本文中所提到的变量；
2、随机选取的 42 天； 3、题目中所提到的城市是平衡发展，政府对环境治理干预较小，即
此城市的环境不会出现强烈波动；
4、题目中所给的污染浓度及气象参数有效，数据都准确可靠，同时 不考虑人为因素、检测仪器精确度不同等影响。
四、符号说明
符号
0.1517
99.9398
7 记主成分向量为 由
0.2096
0.0601
100.0000
Y (Y1,Y2 ,Y3 ,Y4 ,Y5 .Y6 ,Y7 )
Y PT X , P (e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 )
知 x 的前三个主成分分别为
因此，用前三个主成分代替原来 7 个变量，信息损失量较小。
量
e2
中的各个值）知，CO
对空气污染指标
y2
的影响较小；Y3
与
X
1
、
X 7 相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量 e3
中的各个值）知，风速和 HC 对空气污染的影响较大。考虑前三个主
成分的贡献率之和达到 70.3833%，因此综合考虑来Y1 ，Y2 和Y3 来评
判影响空气污染的重要指标。
进一步由Yi 与 X i 的相关系数
Yi ,xi
i jj
eij
(5
)
计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如下表：
原
相关 变
系
表主2成前分三个主成分与各原始变量的相关系数 数
量
0.1087
0.2576
-0.0672
-0.9994
0.0357
-0.0014
-0.1937
-0.4181
0.4675
主成分分析旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合 指标。在实际问题研究中，为了系统、全面地分析问题，我们必须考 虑众多影响因素。因为每个因素都在不同程度上反映了所研究问题的 某些信息，并且指标之间有一定的相关性，因而所得到的统计数据反 映的信息在一定程度上有重叠。本文中所研究的问题变量较多，因此 利用主成分分析法研究本问题，减少计算量和降低分析问题的复杂 性。
利用特征值计算公式 E 0代入数据可求得 的特征值 i 与单位 正交化特征向量 ei(i 1,2,3,,7) 分别为
利用第i 个主成分的贡献率
i p
(8)
及前 k 个主成分的累计贡献率
k
s p
s 1
(9) 其中 p 7 。计算 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表 3 所示）。
此时，由于
X
(
X1
,
X
2
,
X
3
,
X
4,
X
5
,
X
6
,
X
7
)T
的协方差矩阵即为
x (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 )T 的相关矩阵 (ij ) p p 其中
ij
E( X i ,Yj )
Cov( X i , X ii jj
j)
(7) Cov( X i , X j ) 为 X i , X j 的协方差。 代入数据计算得到样本相关矩阵为
表 1 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率
贡献率(%)
累计贡献率 （%）
1
304.2579
87.2948
87.2948
2
28.2761
8.1127
95.4075
3
11.4645
3.2893
98.6968
4
2.5243
0.7242
99.4210
5
1.2795
0.3671
99.7881
6
0.5287
一主成分主要由变量 x2 控制，所以所得结论与实际不符。
5.2 样本相关矩阵主成分分析
利用标准化公式对原数据 X （x1, x2,, x7）进行标准化处理得到一
组新的数据
X
*
(
X
* 1
,
X
* 2
,,
X
* 7
)
：
即令
Xi
xi
i ii
,i
1,2,,7
(6)
其中 i 为 xi 的平均值， ii 为 xi 的方差。
n i1
(xi
x)( xi
x)T
(2) 代入数据可求得随机变量 x (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 )T 相应的样本协方差矩 阵为
利用特征值计算公式 E 0代入数据可求得 的特征值 i 与对应 单位正交化特征向量 ei (i 1,2,,7) 分别为 1 303 .6941 ， 2 28.3132 , 3 11.4674 , 4 2.5494 , 5 1.4703 , 6 0.5479 , 7 0.2243 ,
表 3 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率
贡献率(%)
累计贡献率 （%）
1
2.3368
33.3824
33.3824
2
1.3860
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19.7997
53.1821
3
1.2041
17.2012
70.3833
4
0.7271
10.3870
80.7703
5
0.6535
9.3356
90.1059
6
0.5367
7.6670
由Yi 与 X i 的相关系数
(10)
e Yi , Xi
i ij
计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如表：
原
相 变
关
表主4 前三个主成分与各原始变量的相关系数 成
系分 量数
-0.3681
0.3255
0.6936
0.3145
-0.6202
0.2502
0.8307
-0.0046
-0.1467