偏微分方程(椭圆型)数值解2.4-5

= ∫∫ f ( x, y ) dxdy
m1
•
p1
（4.6）
对于后四项仿照公式（4.3）的方法离散化，例如
∫
m1q1
∂u mq ds ≈ 1 1 ⋅ ( u1 − u0 ) , ∂n p0 p1
∫
q2 q1
q1q2 ∂u ⋅ ( u 2 − u0 ) , ds ≈ p0 p2 ∂n q2 q3 ∂u ⋅ ( u3 − u0 ) 。 ds ≈ p0 p3 ∂n
其中
Ai − 1 , j = A xi − 1 , y j
2 2
Bi , j − 1
2
( ) ⎛ 1⎞ ⎞ ⎛ = B (x , y ) = B⎜ ih , ⎜ j − 2 ⎟h ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
i j− 1 2
1 2
⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ = A ⎜ ⎜ i − ⎟ h1 , jh2 ⎟ ， ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠
正三角形网上的差分格式 设任一内点p0,正六边形q1q2q3q4q5q6所围成的对偶单元G0。 又设每个三角形边长为h ，则有 h 1 o P0 Pi +1 = h , i = 1, 2, L , 6 。由于 tg 30 = qi qi +1 ， 从而 2 2 3 i qi qi +1 = h ( q7 = q1 ) ， = 1, 2, L , 6 。
P
•
• •
• • • •P
对于正则内点（xi,yj)用如下的差分方程逼近（5.1）
⎡ A 1 ( uij ) ⎤ + ⎡ B 1 ( uij ) ⎤ + Dij ( uij ) + Eij ( uij ) + Cij ( uij ) = − Fij (5.2) ˆ ˆ x ⎦x y ⎦y y x ⎣ i− 2, j ⎣ i, j − 2
考虑有界区域G上的Poisson方程
− Δu = f
作G的三角剖分：
~ ~ G 为由 Γ 围成且逼近G的多边形区域； ~ 2）将 G 分割成有限个三角形之和。
（4.1）
在边界G上满足第一、第二及第三边值条件(3.1)1,(3.1)2,(3.1)3
% 1) 在G上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线 Γ ≈ Γ , 并记
1 = m(G0 )
∫∫ f (x, y )dxdy
G0
其次，我们建立界点处的差分方程，设p0是界点，相应的 对偶单元为p0 m1 q1 q2 q3 p0。 若在其上给的是第一边值条件(3.1) 件，例如
⎛ ∂u ⎞ （4.6） ⎜ ⎜ ∂ n + κu ⎟ = γ (k≡0就是第二边值条件） ⎟ ⎝ ⎠Γ p4 p3
∫
q2 q3
∂u qq u − u0 d s = 3 2 ⋅ ( u5 − u0 ) = 5 ⋅ h2 ∂n h1 p0 p5
∫
q4 q3
∫
q1q4
∂u ds ≈ ∂n
u1 − u0 q1q4 ⋅ ( u1 − u0 ) = ⋅ h2 h1 p0பைடு நூலகம்p1
从而
⎡u − u ⎤ u −u u −u u −u − ⎢ 3 0 ⋅ h1 + 5 0 ⋅ h2 + 7 0 ⋅ h1 + 1 0 ⋅ h2 ⎥ = h1 ⋅ h2 ⋅ ϕ 0 h1 h2 h1 ⎣ h2 ⎦
每个三角形应满足： ①不同的三角形无重叠的内部区域； ②任意三角形的顶点不属于其它 三角形的内部； ③三角形的每个内角不大于 90
o
• • •
•
• • • •
• • • •
•
• • • • • •
节点—三角形的顶点； 单元—每个三角形； 相邻节点—同一单元的顶点； 有一公共边的两两三角形互为相邻单元； 对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为 顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕节 点的小多边形称为对偶单元。 全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分成为对偶剖分。 下面我们将对每一个内点建立差分方程。
6
∫∫ f ( x, y ) dxdy ≈ f
。
⎞ 3 1 ⎛− ⎜ ∑ (ui +1 − u 0 )⎟ = h× ⎠ 3 h ⎝ i =1
∫∫
G0
fdxdy ≈ f 0
⇒
6u0 − ∑
i =1
6
h2 ui ≈ f0 3 ﹟
正六边形网上的差分格式 设任一内点p0,正三角形△q1q2q3所围成的对偶单元G0。 又设每个正六边形边长为h ，则有 h 1 o tg 60 = qi qi +1 ， 从而 qi qi +1 = 3h ( q7 = q1 ) ， = 1, 2, L , 6 。 由于 i 2 2 P0 Pi +1 = h , i = 1, 2, L , 6 。
⎛1 3 1 ⎞ 3 h× h⎟ = 3h 2 。 G0的面积: m ( G 0 ) = 6 × ⎜ × 因此差分格式为： ⎜2 2 ⎟ 4 2 ⎠ ⎝
−∑
i =1
3
qi qi +1 ( ui − u0 ) = p0 pi
G0
∫∫ f dxdy = ϕ
G0
0
0
⋅ m(G0 )
其中 ϕ 0
=
1 m(G0 )
设p0是内点，p1,p2,…,p6是p0的相邻节点，qi是三角形△p0 pi pi+1 (p7=p1)的外心（三条垂直平分线的交点），mi是线段 p0 pi 的中点， G0是q1,q2,…,q6所围成的对偶单元。 对于（4.1）两端关于G0 积分，得
− ∫∫ Δu ( x, y ) dx dy =
五点差分格式 在矩形网上用同方向的对角线将每一个矩形单元分成两个直角 三角形，得到“直角三角剖分”，对偶单元是矩形，由此导出的差 分格式恰恰是五点差分格式。 设任一内点p0,矩形G0是q1,q2,q3,q4所围成的对偶单元,则有
− ∫∫ Δu ( x, y ) dx dy =
G0
利用Green公式，得
其中 ϕ 0
=
1 m(G0 )
∫∫ f ( x, y ) dxdy ≈ f 。而
0 G0
∫
q1q2
u3 − u0 q1q2 ∂u ⋅ ( u3 − u 0 ) = ⋅ h1 ds ≈ ∂n h2 p0 p3
∂u qq u − u0 ds ≈ 4 3 ⋅ ( u7 − u0 ) = 7 ⋅ h1 ∂n h2 p0 p7
⎛1 3 1 ⎞ h × h ⎟ = 3h 2 。 因此差分格式为： G0的面积: m ( G 0 ) = 12 × ⎜ × ⎜2 3 2 ⎟ ⎝ ⎠
3
−∑
i =1
6
qi qi +1 (ui+1 − u0 ) = p 0 pi
G0
∫∫ f dxdy
G0
0
= ϕ 0 ⋅ m(G0 )
其中 ϕ 0
=
1 m(G0 )
∫
m4 p0
γ ds −
∫
m4 p0
κ u ds
≈
同理
⎛ κ ⎛ 1 ⎞⎞ m4 p0 = m4 p0 ⎜ γ − ⋅ ⎜ u p + ( u p + u p ) ⎟ ⎟ ⋅ κ ⋅ u p0 − um4 m4 p0γ − 2 ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ 2
(
)
0
0
4
κ ⎛ ⎞ p p κ = m4 p0 ⎜ γ − ⋅ u p0 − um4 ⎟ = 4 0 ⎛ γ − ⋅ 3u p + u p ⎞ ⎜ ⎟ 0 4 2 2 ⎝ 4 ⎝ ⎠ ⎠
1
则令 up0=a(p0)即可。 若在其上给的是第二边值条件或第三边值条
则需要补充一个方程。 此时与（4.2）类似地有
•
+
∫
m4 p0
∂u ∂u ∂u ds + ∫ ds + ∫ ds ∂n ∂n ∂n p0 m1 m1q1
G0
m4
q3
•
p0
•
m3 G 0 q2 m2 q1
•p
2
∫
q1q2
∂u ∂u ∂u ds + ∫ ds + ∫ ds ∂n ∂n ∂n q2 q3 q3 m4
(
)
(
)
(4.8)1
∫
m1 p0
∂u ds = ∫ (γ − κu )ds = p1 p0 ⎛ γ − κ ⋅ 3u p + u p ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 ∂n 2 ⎝ 4 ⎠ m1 p0
(
)
(4.8)2
将上述六个公式带入(4.7)中，就得到界点的差分方程。所有内点、 界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是对 称的稀疏矩阵。
（4.3）
其中m(G0)是的面积，RG0(u)是截断误差，带入(4.2)舍去RG0(u) ， 即得任一内点p0的差分方程：
6
−∑
i =1
qi qi +1 ⋅ ( ui +1 − u0 ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = m(G0 )ϕ 0 （4.4） p0 pi +1 G
0
其中 ϕ 0
除以h1·h2 ，得 进一步
⎡ u3 − u0 u5 − u0 u7 − u0 u1 − u0 ⎤ −⎢ 2 + + + ⎥ 2 2 h2 h1 h2 h12 ⎦ ⎣
= ϕ0
﹟
⎡ u5 − 2u0 + u1 u3 − 2u0 + u7 ⎤ −⎢ + ⎥ = ϕ0 ≈ f 0 2 2 h1 h2 ⎣ ⎦
⎧( Au x )x + (Bu y )y + Cu x + Du y − Eu = F ⎨ ⎩ u ( x, y ) Γ = α ( x , y )
( x, y ) ∈ G
（5.1）
其中 A ( x, y ) , B ( x, y ) ∈ C1 ( G ) , C ( x, y ) , D(x, y ), E ( x, y ), F (x, y ) ∈ C0 (G ) 且 B ( x, y ) ≥ Bmin > 0 , A ( x, y ) ≥ Amin > 0 , E ( x, y ) ≥ 0 。
∫∫ f ( x, y ) dxdy ≈ f
。
1 3h × h
⎛ ⎜ −∑ ⎝ i =1
3
⎞ fdxdy ≈ f 0 ui − u0 ) ⎟ = ( ⎠ G0
∫∫
⇒
3u0 − ∑
i =1
3
3h 2 ui ≈ f0 4 ﹟
§5 极值定理 为了得到差分解的的收敛性、收敛速度的估计以及稳定 性。需要对差分解作出某种先验估计。常用的方法之一，就 是下面介绍的极值定理。 5.1 差分方程 考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题
第4章 椭圆型方程的差分法
§4. 三角网的差分格式 前面介绍了矩形网格的差分格式，其特点是：计 算公式简单，求解差分方程较容易，但是对于复杂的 区域其几何逼近误差大，不能局部任意调整网格。三 角网的差分格式具有网格的灵活，自然边值条件容易 处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒 ），深受使用者的欢迎。 积分插值法用于三角网，可得到三角网的差分格 式。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。
考虑矩形网格：h1和h2分别为x和y方向的步长，Gh为网格
G 节点集合，Gh为网格界点集合， h = G h ∪ Γ h 。 总假设Gh是联通
的，即 ∀P , P ∈G h 必有一串 Pi ∈G h (i = 1, 2, L, m − 1) 可将 P, P 排列成顺序序列：P , P1 , P2 , L , Pm , P 使前后两点互为相邻节点。
G0
∫∫ f ( x, y ) dx dy
G0
•
q4
p3
q3
利用Green公式，得 (4.2)
m3
•
q1
p2
∂u −∫ ds = ∂n ∂G0
∫∫
G0
f ( x, y ) dx dy p4 •
p5
m4 q5 m5
p0
•
m2 G 0 q2 m1 m6
•p
1
其中是G0的边界,n是G0的外法向量。
•
q6
•
∫∫ f ( x, y ) dx dy p •
G0
4
•
p0
p3
m2 q1 m1
q2
• •
p2 p1
∂u −∫ ds = ∂n ∂G0
∫∫ f ( x, y ) dx dy
G0
p5
• •
m3 q3
•
h2
p6
G0
q4
m4
h1
• p
•p
7
8
⎡ ∂u ⎤ ∂u ∂u ∂u ds + ∫ ds + ∫ ds + ∫ ds ⎥ = m(G0 )ϕ 0 −⎢ ∫ ∂n ⎥ ∂n ∂n ⎢ q1q2 ∂n q2 q3 q3q4 q1q4 ⎣ ⎦
∫
m4 q3
∂u m4 q3 ⋅ ( u4 − u0 ) , ds ≈ p0 p4 ∂n
∫
q2 q3
对于
∫
m4 q0
∂u ds 和 ∂n
∫
p0 m1
∂u ds ， 首先假定k，g是常数，u是 ∂n
P0 + P 1 , 则可以利用梯形 2
三角单元上的线性函数，再注意到 m4 = 数值求积公式，得到
∂u ∫p ∂n ds = m∫p (γ − κ u ) ds = m4 0 4 0
p6
−
∂G 0
∫
注意， 6 ∂u ds = ∑ ∂n i =1
=∑
i =1 6
∫
qi qi+1
6 ∂u ( mi +1 ) ∂u ⋅ qi qi +1 + m ( G 0 ) RG0 ( u ) ds = ∑ ∂n ∂ p0 pi +1 i =1
(
)
u ( pi +1 ) − u ( p0 ) ⋅ qi qi+1 + m(G 0 )RG 0 (u ) p0 pi +1