一类非线性泛函积分方程单调可积解的存在性
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第３ ７卷
第 ３期
曲 阜 师 范 大 学 学 报
Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ｌ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕｕ ｏｍａ ｎ ｎｖ ｓ ｙ ｅ ｉ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １３ ３
２１ ０ １年 ７月
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
一
类非 线性泛 函积分方程 单调可积解的存在性
（ ＝０ Ｘ） 铮 ∈ ． （．） ２ １
在 Ｌ ［ ，］中， ｌ １ ０ 文献［ ］给出了函数 （ ）的一简易公式 ４ Ｘ
卢 ） （ ＝
｛ ｌ（ ｌ ：ｃ ］ｒＤ 】． Ｓ １ Ｄ ，（） ） Ｈ ｐ ）ｄ ｔ ｅ ）
．
（２ ２） ．
定义 ２ ２ ． 算子 尸：—Ｅ 若对任一序列 ｛ ｝ Ｅ ， 弱收敛到 ， ｛ ｝ 有 弱收敛 到 ， 则称算子 Ｐ在 Ｅ中 是 弱序列 连 续 的． 定 义 ２ ３６（ ． 【 迭加 算 子 ） 设 厂 ［ ，］× Ｒ 尺 满 足 Ｃ ｒｔｅｄｒ 件 ， ：０ １ 一 ａａ ｏｏｙ条 ｈ 即对 几 乎所 有 的 ｔｆ ｔ ）是 ， （， 的连续函数 ， 对每个 ， ｔ ） ｔ ， 是 的可测 函数 ， 由 则 生成的迭加算子 Ｆ定义为
方 程单 调可积解的存在性 ，推广 了有关文献 的结 果．
关键 词 ： 积分方程； 弱非紧性测度； 弱序列连续 ；ａ ｔ ｏｏ 条件 Ｃｒｈ ｄｒ ａｅ ｙ
中 图分类 号 ：１５５ Ｏ７．
文献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ：０１ ３７２１）３ ０１ １０－ ３（０１０－ １ ５ ０
１ 引 言
张 峰①， 毕 玉洁②， 赵 增勤①
（ 曲阜师 范大学数学科学学 院， ７ １５ 曲阜市 ； ① ２３ ６ ， ②青岛华夏职业教育 中心中专部 ， ６ ０ ， ２ ５０ 山东省青 岛市 ） ６
摘要 ： 利用弱非紧性测度理论、ｒ ｎｓ ￣ｉ型不动点定理和弱序列连续， Ｋａ ｏ ｌ ｉ ｓ ｅｋ 证明了一类非线性泛函积分
Ｍ）＝ ＝ ∈Ｍ． Ａ＋ 在 中至少 有 一个不 动 点． ＞ 则
３ 主 要结 果
作 如下 假设
（ Ｃ ）函数 ｇ ／ ［ ，］ 一尺满足 Ｃｒ ｈｏｏ ， ：０ １ ×Ｒ ａ ｔ ｄｒ ａ ｅ ｙ条件． 存在函数 （） ０ ∈ ０ １ ｔ ， （） Ｌ ［ ，］和常数 ｙ ｂ ，
ｌｘｌ Ｊｌ （， １ ）） ｄ＋『ｌ Ｆ Ｕ ）￡ｌ ｔ ≤ ￡ Ｖｌ ｇ （ （ ） Ｉ ｔ ｌ （ ｘ （ ￡ ）ｄ
（ｄ ｆｆ ｆ ）＋
Ｉ＋ ｄ
） ６ “ ， ＋ ｓ （ ｌ
）ｄｄ ｌ】 ｚ ｓ
＜ｌ ＋： Ｉ ｆ ｆ ｌ ｄ ６ ＋ ㈩ ） ㈤ １ ）ｄ ） ｓ ≤ ＋ ｌ ＋ １６ Ａ＋ １ ｌ咖）鱼 ｄ ｌＩ Ｉ Ｉ ＋ｌＩ ６ＫＪ ） 名 ￡ ｌ ｌ ｌ Ｉ （ｓＩ Ｉ ｌ ｌ ． （ ｌ Ｋｌ 。 ｌ １
第பைடு நூலகம்３期
张
峰 ， ： 类非 线性 泛 函积分 方程 单调 可积 解 的存在 性 等 一
ｌ ３
现在 ， Ｑ ＣＢ ， 令 ， ， 其为在Ｖ ， ］ ｏ １ 上所有非减函数组成 的集合．利用与文献 ［ ， ］ 同的方法可证 明集 ２６ 相 合 Ｑ是非空 、 ， 有界 、 闭和依测度紧的． 凸、 下面分别证明所作假设满足引理 ２ ５的条件． ． 对任一集合 Ｘ Ｑ 和 Ｅ ， ｃ ， Ｘ 设 ＞ 及取一可测集 ＤＣ［， ， ｍ Ｄ ， ０ Ｏ１ 使得 （ ） 由假设（ 一 Ｃ ） ］ ｃ） （ 及式（．） ３１得
２
（ ）＞ ． ｔ
（ ６ 日ｌ Ｃ） ＿ ＋
ｌ ＜１ Ｉ Ｋ ．
定理 ３ １ 若假设（ 一（ 成立 ， ． Ｃ） ｃ） 则积分方程（． ） １１ 至少有一个解 ∈ ｌ ，］ Ｌ ［ １且解在［ ，］ ０ ０ １ 上非减．
证 明 首先 ， 程 （ ． ）可 写为 Ｖ 方 １１ ｘ＝Ａ ｘ＋Ｂ ， 中 Ａ＝Ｆ 其 Ｕ， ｇ 由假设 （ Ｂ＝ Ｃ ）一（ ｃ ）和 引理 ２ １ ．， 可 知对 任意 ∈Ｌ ［ １ ，有 Ｖ Ｌ ［ ，］ ０，］ ｘ∈ ０ １ ．此外 ，
０ 对 所有 的（， ）∈［ １ × Ｒ， ， ｔ ０，］ 使得 ｌ （， ）Ｉ ｇ －在集 合 ［ ，］Ｘ Ｒ上 关 于两变 量是 非减 的． 厂 ０１ （）＋ ｌ Ｉ ｌ ￡ ） ≤ ｎ ｔ ｔ ， ， Ｉ （）＋ｂ １ ．此外 ， Ｉ ｇ，
（ ２ ：０ １ × Ｃ ）ｕ ［ ，］ 一尺满足 Ｃ ｒｈｏｏ 条件． ｓ ０ １ ∈ 函数 （， ， ａ ｔｅｄｒ ａ ｙ 对 ∈［ ，］和 Ｒ， 一Ｍ ￡ ｓ ）在区间［ ，］ ０ １
１ ２
曲阜师范大学学报 （ 自然科学版）
（ ） ￡ 厂 ｔ （） ， （）＝－ ， ｔ ） ｔ∈ ｌ １ ． （ ０， ］
２ １ 丘 ０１
引理 ２ １６ 迭 加算 子 Ｆ 映 Ｌ ［ ，］到 Ｌ ［ ，］连续 当且 仅 当 Ｉ（， ） ０ ｔ ．【 ０ １ ０ １ ｆｔ Ｉ （）＋ｂ ｌ其 中 Ⅱ ｔ ， Ｉ （）∈ ， ［ １ ，ｂ为 非负 常数 ． Ｊ ０，］ 引理 ２ ２６ 设 Ｆ 映 ￡ ［ １ ．［ ３ ０，］到 ［ １ ， ０，］ 则 （ ）Ｆ 映任 一有 等度绝 对 连续积 分 的序列 到一 有 同性质 的序 列． １ （ ）任一 依测度 收敛 序列 在 Ｆ下 的像是 一依 测度 收敛 序列 ． ２
空有界集组成的族 ， 为 中所有相对弱紧集组成的子族． 记 为所有实数组成 的集合 ， ＋ 为所有非负实 数 组成 的集 合 ．
定 义 ２ １ （ 非 紧 陛测 度 ） 对 Ｘ∈Ｍ， 义 映射 ： 尺＋ ． 弱 定 』 ｌ ， Ｂ ｘ） ＝ｉｆｒ＞０ 存 在 Ｙ∈ 满 足 ｃ ｙ＋Ｂ ｝ （ ｎ｛ ： ． 该 函数 的一 系列 性质 见 文献 ［ ］ 其 中一 特别 性质 为 ３ ，
记Ｌ［， 为于区间Ｉ， 上所有 ｌｅｕ 可 数所组成的Ｂｎ ｈ空间， 。 １ ｏ］ －１ ｏ］ ｅ ｓ ｅ 积函 ｂｇ ａｃ ａ 其范数为 Ｉ （ ｌ ， １＝Ｉｌ ￡ ）ｄ ｔ
Ｊ０
∈Ｌ［ ，］ ０１．本文 在 ￡［，］中考虑 Ｕｙｏｎ型非线性泛 函积分方程 ０１ ｒｓｈ
引理 ２ ３ ．
若序列 ｛ ｝ 。０ １ 弱收敛到函数 ∈ ０ １ ＣＬ ［ ，］ Ｌ［ ，］且依测度紧 ， 则此序列依测度收敛．
引理 ２４６ 若集合 ＸＣ ０ １ 有等度绝对连续积分 ， ． ｕ Ｌ ［ ，］ 则它是弱紧的．
引理 ２ ５ （ ｒｓｏｅｇｉ型不 动 点定 理 ） 设 是 Ｂ ｎｅ ． Ｋａｎｓｌｋｉ ａａｈ空 间 Ｅ 中一非 空有 界 闭 凸集 ， Ａ： —Ｅ 若 和 Ｂ：—Ｅ 是 两弱序 列连 续 映射满 足 ：１ Ａ 是 相对 弱 紧的 ； ２ Ｅ （） Ｍ （ ）Ｂ是 严格压 缩 的 ；（ ）（ Ｂ ３ ＝ ｘ＋Ａ ， ∈ ｙ Ｙ
上 非减 ．
（ ， Ｕｙ ｈ 算子： Ｕ ）ｆ Ｃ） ｒ ｏｎ ｓ （ ｘ （）：Ｉ （， ， ｓ ）ｓ ０１ 到Ｌ［ ，］ “ ｓ ） ｄ 映Ｌ［ ，］ ０１ 连续． （
（ Ｃ ）对 （， ）∈［ ，］和 ∈Ｒ， 等式 ｌ（， ， ） ｋ ｔ ｓ ［ （）＋ Ｉ 立 ， 中 Ａ ｔ ｔｓ ０ １ 不 ｔｓ ｕ ｌ （， ） Ａ ｔ ｌ ］成 其 （）∈Ｌ ［ ０，
（ ｇ ， 咖（ ） ＋１， “ ，， 咖（ ）ｄ） ∈［，］ ）＝ （ （。 ）） ／￡ ｆ （ ｓ ： ）） ， ０１， ｆ （ ｓ ｓ
、 Ｊ０
（．） １１
单 调解 的存 在 性 ．
在生物学 、 物理学 、 工程技术等领域 中出现的很 多问题都可归结为 Ｕｙｏｎ型积分方程． ｒ ｈ ｓ 文献 ［ ， ］分 １２ 别在 Ｌ［ ，］中运用非紧Ｉ测度理论和 Ｄ ｒｏ ’０ １ 生 ａ 不动点定理 ， ｂ 研究 了两类 Ｕｙｏｎ型积分方程单调解 的存在 ｒ ｈ ｓ 性． 受文献 ［ ，］ １２ 启发 ， 本文利用弱非紧性测度理论 、 ｒ ｎｓ ￣ｉ型不动点定理和弱序列连续 ， Ｋａ ｏ ｌ ｉ ｓ ｅｋ 探讨较文献
１ ， 是非负常数． 数 ｋ ［ ，］ ］ 函 ： １ 一Ｒ 可测， ０ ＋ 使得由ｋ 生成的线性算子： Ｋ ） ）＝ Ｊ （， ）（）ｓ （ｘ （ ｆ ｓ ｓｄ 映 ｋ
Ｌ ［ ，］到 Ｌ ［ ，］连续． ０ １ ０ １
（ ， ［ ，］ ［ １ Ｃ） 咖 ：０ １ 一 ０，］是 增 的 、 对 连 续 函数 ， 在 常数 ＞０和 ＞０ 绝 存 ，满 足 咖 ｔ （）＞Ｈ 和
： ＪｌＪ＋’ 冬 Ｉ ｌ ， Ｏ 令 ｒ： Ｉ Ｉ ｌ Ｊ ＩＩ Ｉ＋ Ｉ ｝＋ ｝＋ｂｌ Ｊ｝ Ｉ Ｊ Ｊ Ａ Ｉ ｝Ｉ Ｉ ｛ ｊＩ ｛ ． （。 ） ３ １ ．假 设 ｃ ６ 确保 了 ｒ 一对 ∈Ｂ ，有 Ｃ ＞ｏ ， ｌ Ｉ ｌ ｌ≤ ｌ ｌ ＨＩｒ＋ ＿ Ｉ Ｉ＋ ～ ｌ ｌ Ｋ ｌＩ ｌ＋ｂｌ Ｉ ｌ ｎ 】 ｌ ｌ＋ Ａ 所 以 Ｖ ∈Ｂ ．故 映球 Ｂ到 Ｂ． ｘ ｌ ｌ ｒ Ｉ Ｉ ｒ＝ ，
Ｉ ：ｌ ｆ（ Ａ 圳＝ ＵＩ ｏ ｘ＝ ｌ
。６ ） ＋ 。 ）
） ， ｌ＝ ｄ
。 ） ＋
（ ）ｌ ｄｄ ｓ￡ ）
。Ｊ０ （（） ｚ） ） 、 咖ｓ 。 （ｄ Ｊ６ 。 ） ｓ Ｄ２ （
（．） ３ ２
ｌ Ｌ） ｂｌ ｌ Ｄ『 ｌＤ＋ 所 ｌ Ｄ （ ｌｖ Ｊ ｌ（ ＋ ｊ ）Ａ『 ） ＩＤ ｌ ｌ ０ 『 Ｉ ） Ｉ ． ｌ Ｊ ） ｄ
收 稿 日期 ：０ ００ －８ ２ １ －９２ 基 金 项 目 ： 东 省 自然 科 学 基 金 （ Ｒ ０Ｏ Ｍ０ ５ ． 山 Ｚ２ ＩＡ ０ ）
作者简介 ： 张峰 ，男 ， ９３ ， １ ８ 一 硕士 ；研究方向 ： 非线性分 析及应用 ．Ｅ ｍ ｉ ｚ ｄ ＠１３ ｃｎ． — ａｌ ｆ ｐ ６ ．ｏ ：ｓ 赵增勤 ， ， ９ ５ ， 男 １５ 一 教授 ，博士生导师 ； 研究方 向：非线性分析及应用．Ｅ ｍａ ： ｑｈｏ ａｌｑｎ ．ｄ ．ｎ － ｉ ｚｚａ＠ｍ ｉ ｆｕ ｅｕ ｃ ｌ ．
因
｛ｐ Ｊ ￡ ｄ ６ Ｓ［ 口） ｆ Ｕ （Ｉ ＋
。 （ｌ：Ｄ ］ ０ ）ｌ ｍ ） ） ・ ｆＡ）ｄ （ ＝ ｏ ｔ
ｌ Ｊ（ ． ｊ Ｉ ） （． ） ３３
故 由式 （ ． ）和式 （． ）得 ２２ ３２
／（ ， Ｘ） ６ ３ Ｕ
对任一序列 ｛ ｝ ｃＱ， 利用式（．）及假设 （ ３３ ｃ ）可得 ｛ Ｕ｛，『 ｝ ０ Ｆ ∈ ＝ ．再由式 （． ）可知 ， ｝ ２１ 集合
［ ，］更具 一般 形式 的方程 （ ． ）单 调解 的存 在 性 ， 得结 论 推广 了文 献 ［ ，］的结 果 ． １２ １１ 所 １２
２ 预 备知 识
设 Ｅ 为实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， 为零 元 素 ， ， ）是 以 为 圆心 ｒ为半 径 的闭球 ． Ｂ ＝Ｂ（ ｒ 令 为 Ｅ 中所有 非
第 ３期
曲 阜 师 范 大 学 学 报
Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ｌ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕｕ ｏｍａ ｎ ｎｖ ｓ ｙ ｅ ｉ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １３ ３
２１ ０ １年 ７月
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
一
类非 线性泛 函积分方程 单调可积解的存在性
（ ＝０ Ｘ） 铮 ∈ ． （．） ２ １
在 Ｌ ［ ，］中， ｌ １ ０ 文献［ ］给出了函数 （ ）的一简易公式 ４ Ｘ
卢 ） （ ＝
｛ ｌ（ ｌ ：ｃ ］ｒＤ 】． Ｓ １ Ｄ ，（） ） Ｈ ｐ ）ｄ ｔ ｅ ）
．
（２ ２） ．
定义 ２ ２ ． 算子 尸：—Ｅ 若对任一序列 ｛ ｝ Ｅ ， 弱收敛到 ， ｛ ｝ 有 弱收敛 到 ， 则称算子 Ｐ在 Ｅ中 是 弱序列 连 续 的． 定 义 ２ ３６（ ． 【 迭加 算 子 ） 设 厂 ［ ，］× Ｒ 尺 满 足 Ｃ ｒｔｅｄｒ 件 ， ：０ １ 一 ａａ ｏｏｙ条 ｈ 即对 几 乎所 有 的 ｔｆ ｔ ）是 ， （， 的连续函数 ， 对每个 ， ｔ ） ｔ ， 是 的可测 函数 ， 由 则 生成的迭加算子 Ｆ定义为
方 程单 调可积解的存在性 ，推广 了有关文献 的结 果．
关键 词 ： 积分方程； 弱非紧性测度； 弱序列连续 ；ａ ｔ ｏｏ 条件 Ｃｒｈ ｄｒ ａｅ ｙ
中 图分类 号 ：１５５ Ｏ７．
文献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ：０１ ３７２１）３ ０１ １０－ ３（０１０－ １ ５ ０
１ 引 言
张 峰①， 毕 玉洁②， 赵 增勤①
（ 曲阜师 范大学数学科学学 院， ７ １５ 曲阜市 ； ① ２３ ６ ， ②青岛华夏职业教育 中心中专部 ， ６ ０ ， ２ ５０ 山东省青 岛市 ） ６
摘要 ： 利用弱非紧性测度理论、ｒ ｎｓ ￣ｉ型不动点定理和弱序列连续， Ｋａ ｏ ｌ ｉ ｓ ｅｋ 证明了一类非线性泛函积分
Ｍ）＝ ＝ ∈Ｍ． Ａ＋ 在 中至少 有 一个不 动 点． ＞ 则
３ 主 要结 果
作 如下 假设
（ Ｃ ）函数 ｇ ／ ［ ，］ 一尺满足 Ｃｒ ｈｏｏ ， ：０ １ ×Ｒ ａ ｔ ｄｒ ａ ｅ ｙ条件． 存在函数 （） ０ ∈ ０ １ ｔ ， （） Ｌ ［ ，］和常数 ｙ ｂ ，
ｌｘｌ Ｊｌ （， １ ）） ｄ＋『ｌ Ｆ Ｕ ）￡ｌ ｔ ≤ ￡ Ｖｌ ｇ （ （ ） Ｉ ｔ ｌ （ ｘ （ ￡ ）ｄ
（ｄ ｆｆ ｆ ）＋
Ｉ＋ ｄ
） ６ “ ， ＋ ｓ （ ｌ
）ｄｄ ｌ】 ｚ ｓ
＜ｌ ＋： Ｉ ｆ ｆ ｌ ｄ ６ ＋ ㈩ ） ㈤ １ ）ｄ ） ｓ ≤ ＋ ｌ ＋ １６ Ａ＋ １ ｌ咖）鱼 ｄ ｌＩ Ｉ Ｉ ＋ｌＩ ６ＫＪ ） 名 ￡ ｌ ｌ ｌ Ｉ （ｓＩ Ｉ ｌ ｌ ． （ ｌ Ｋｌ 。 ｌ １
第பைடு நூலகம்３期
张
峰 ， ： 类非 线性 泛 函积分 方程 单调 可积 解 的存在 性 等 一
ｌ ３
现在 ， Ｑ ＣＢ ， 令 ， ， 其为在Ｖ ， ］ ｏ １ 上所有非减函数组成 的集合．利用与文献 ［ ， ］ 同的方法可证 明集 ２６ 相 合 Ｑ是非空 、 ， 有界 、 闭和依测度紧的． 凸、 下面分别证明所作假设满足引理 ２ ５的条件． ． 对任一集合 Ｘ Ｑ 和 Ｅ ， ｃ ， Ｘ 设 ＞ 及取一可测集 ＤＣ［， ， ｍ Ｄ ， ０ Ｏ１ 使得 （ ） 由假设（ 一 Ｃ ） ］ ｃ） （ 及式（．） ３１得
２
（ ）＞ ． ｔ
（ ６ 日ｌ Ｃ） ＿ ＋
ｌ ＜１ Ｉ Ｋ ．
定理 ３ １ 若假设（ 一（ 成立 ， ． Ｃ） ｃ） 则积分方程（． ） １１ 至少有一个解 ∈ ｌ ，］ Ｌ ［ １且解在［ ，］ ０ ０ １ 上非减．
证 明 首先 ， 程 （ ． ）可 写为 Ｖ 方 １１ ｘ＝Ａ ｘ＋Ｂ ， 中 Ａ＝Ｆ 其 Ｕ， ｇ 由假设 （ Ｂ＝ Ｃ ）一（ ｃ ）和 引理 ２ １ ．， 可 知对 任意 ∈Ｌ ［ １ ，有 Ｖ Ｌ ［ ，］ ０，］ ｘ∈ ０ １ ．此外 ，
０ 对 所有 的（， ）∈［ １ × Ｒ， ， ｔ ０，］ 使得 ｌ （， ）Ｉ ｇ －在集 合 ［ ，］Ｘ Ｒ上 关 于两变 量是 非减 的． 厂 ０１ （）＋ ｌ Ｉ ｌ ￡ ） ≤ ｎ ｔ ｔ ， ， Ｉ （）＋ｂ １ ．此外 ， Ｉ ｇ，
（ ２ ：０ １ × Ｃ ）ｕ ［ ，］ 一尺满足 Ｃ ｒｈｏｏ 条件． ｓ ０ １ ∈ 函数 （， ， ａ ｔｅｄｒ ａ ｙ 对 ∈［ ，］和 Ｒ， 一Ｍ ￡ ｓ ）在区间［ ，］ ０ １
１ ２
曲阜师范大学学报 （ 自然科学版）
（ ） ￡ 厂 ｔ （） ， （）＝－ ， ｔ ） ｔ∈ ｌ １ ． （ ０， ］
２ １ 丘 ０１
引理 ２ １６ 迭 加算 子 Ｆ 映 Ｌ ［ ，］到 Ｌ ［ ，］连续 当且 仅 当 Ｉ（， ） ０ ｔ ．【 ０ １ ０ １ ｆｔ Ｉ （）＋ｂ ｌ其 中 Ⅱ ｔ ， Ｉ （）∈ ， ［ １ ，ｂ为 非负 常数 ． Ｊ ０，］ 引理 ２ ２６ 设 Ｆ 映 ￡ ［ １ ．［ ３ ０，］到 ［ １ ， ０，］ 则 （ ）Ｆ 映任 一有 等度绝 对 连续积 分 的序列 到一 有 同性质 的序 列． １ （ ）任一 依测度 收敛 序列 在 Ｆ下 的像是 一依 测度 收敛 序列 ． ２
空有界集组成的族 ， 为 中所有相对弱紧集组成的子族． 记 为所有实数组成 的集合 ， ＋ 为所有非负实 数 组成 的集 合 ．
定 义 ２ １ （ 非 紧 陛测 度 ） 对 Ｘ∈Ｍ， 义 映射 ： 尺＋ ． 弱 定 』 ｌ ， Ｂ ｘ） ＝ｉｆｒ＞０ 存 在 Ｙ∈ 满 足 ｃ ｙ＋Ｂ ｝ （ ｎ｛ ： ． 该 函数 的一 系列 性质 见 文献 ［ ］ 其 中一 特别 性质 为 ３ ，
记Ｌ［， 为于区间Ｉ， 上所有 ｌｅｕ 可 数所组成的Ｂｎ ｈ空间， 。 １ ｏ］ －１ ｏ］ ｅ ｓ ｅ 积函 ｂｇ ａｃ ａ 其范数为 Ｉ （ ｌ ， １＝Ｉｌ ￡ ）ｄ ｔ
Ｊ０
∈Ｌ［ ，］ ０１．本文 在 ￡［，］中考虑 Ｕｙｏｎ型非线性泛 函积分方程 ０１ ｒｓｈ
引理 ２ ３ ．
若序列 ｛ ｝ 。０ １ 弱收敛到函数 ∈ ０ １ ＣＬ ［ ，］ Ｌ［ ，］且依测度紧 ， 则此序列依测度收敛．
引理 ２４６ 若集合 ＸＣ ０ １ 有等度绝对连续积分 ， ． ｕ Ｌ ［ ，］ 则它是弱紧的．
引理 ２ ５ （ ｒｓｏｅｇｉ型不 动 点定 理 ） 设 是 Ｂ ｎｅ ． Ｋａｎｓｌｋｉ ａａｈ空 间 Ｅ 中一非 空有 界 闭 凸集 ， Ａ： —Ｅ 若 和 Ｂ：—Ｅ 是 两弱序 列连 续 映射满 足 ：１ Ａ 是 相对 弱 紧的 ； ２ Ｅ （） Ｍ （ ）Ｂ是 严格压 缩 的 ；（ ）（ Ｂ ３ ＝ ｘ＋Ａ ， ∈ ｙ Ｙ
上 非减 ．
（ ， Ｕｙ ｈ 算子： Ｕ ）ｆ Ｃ） ｒ ｏｎ ｓ （ ｘ （）：Ｉ （， ， ｓ ）ｓ ０１ 到Ｌ［ ，］ “ ｓ ） ｄ 映Ｌ［ ，］ ０１ 连续． （
（ Ｃ ）对 （， ）∈［ ，］和 ∈Ｒ， 等式 ｌ（， ， ） ｋ ｔ ｓ ［ （）＋ Ｉ 立 ， 中 Ａ ｔ ｔｓ ０ １ 不 ｔｓ ｕ ｌ （， ） Ａ ｔ ｌ ］成 其 （）∈Ｌ ［ ０，
（ ｇ ， 咖（ ） ＋１， “ ，， 咖（ ）ｄ） ∈［，］ ）＝ （ （。 ）） ／￡ ｆ （ ｓ ： ）） ， ０１， ｆ （ ｓ ｓ
、 Ｊ０
（．） １１
单 调解 的存 在 性 ．
在生物学 、 物理学 、 工程技术等领域 中出现的很 多问题都可归结为 Ｕｙｏｎ型积分方程． ｒ ｈ ｓ 文献 ［ ， ］分 １２ 别在 Ｌ［ ，］中运用非紧Ｉ测度理论和 Ｄ ｒｏ ’０ １ 生 ａ 不动点定理 ， ｂ 研究 了两类 Ｕｙｏｎ型积分方程单调解 的存在 ｒ ｈ ｓ 性． 受文献 ［ ，］ １２ 启发 ， 本文利用弱非紧性测度理论 、 ｒ ｎｓ ￣ｉ型不动点定理和弱序列连续 ， Ｋａ ｏ ｌ ｉ ｓ ｅｋ 探讨较文献
１ ， 是非负常数． 数 ｋ ［ ，］ ］ 函 ： １ 一Ｒ 可测， ０ ＋ 使得由ｋ 生成的线性算子： Ｋ ） ）＝ Ｊ （， ）（）ｓ （ｘ （ ｆ ｓ ｓｄ 映 ｋ
Ｌ ［ ，］到 Ｌ ［ ，］连续． ０ １ ０ １
（ ， ［ ，］ ［ １ Ｃ） 咖 ：０ １ 一 ０，］是 增 的 、 对 连 续 函数 ， 在 常数 ＞０和 ＞０ 绝 存 ，满 足 咖 ｔ （）＞Ｈ 和
： ＪｌＪ＋’ 冬 Ｉ ｌ ， Ｏ 令 ｒ： Ｉ Ｉ ｌ Ｊ ＩＩ Ｉ＋ Ｉ ｝＋ ｝＋ｂｌ Ｊ｝ Ｉ Ｊ Ｊ Ａ Ｉ ｝Ｉ Ｉ ｛ ｊＩ ｛ ． （。 ） ３ １ ．假 设 ｃ ６ 确保 了 ｒ 一对 ∈Ｂ ，有 Ｃ ＞ｏ ， ｌ Ｉ ｌ ｌ≤ ｌ ｌ ＨＩｒ＋ ＿ Ｉ Ｉ＋ ～ ｌ ｌ Ｋ ｌＩ ｌ＋ｂｌ Ｉ ｌ ｎ 】 ｌ ｌ＋ Ａ 所 以 Ｖ ∈Ｂ ．故 映球 Ｂ到 Ｂ． ｘ ｌ ｌ ｒ Ｉ Ｉ ｒ＝ ，
Ｉ ：ｌ ｆ（ Ａ 圳＝ ＵＩ ｏ ｘ＝ ｌ
。６ ） ＋ 。 ）
） ， ｌ＝ ｄ
。 ） ＋
（ ）ｌ ｄｄ ｓ￡ ）
。Ｊ０ （（） ｚ） ） 、 咖ｓ 。 （ｄ Ｊ６ 。 ） ｓ Ｄ２ （
（．） ３ ２
ｌ Ｌ） ｂｌ ｌ Ｄ『 ｌＤ＋ 所 ｌ Ｄ （ ｌｖ Ｊ ｌ（ ＋ ｊ ）Ａ『 ） ＩＤ ｌ ｌ ０ 『 Ｉ ） Ｉ ． ｌ Ｊ ） ｄ
收 稿 日期 ：０ ００ －８ ２ １ －９２ 基 金 项 目 ： 东 省 自然 科 学 基 金 （ Ｒ ０Ｏ Ｍ０ ５ ． 山 Ｚ２ ＩＡ ０ ）
作者简介 ： 张峰 ，男 ， ９３ ， １ ８ 一 硕士 ；研究方向 ： 非线性分 析及应用 ．Ｅ ｍ ｉ ｚ ｄ ＠１３ ｃｎ． — ａｌ ｆ ｐ ６ ．ｏ ：ｓ 赵增勤 ， ， ９ ５ ， 男 １５ 一 教授 ，博士生导师 ； 研究方 向：非线性分析及应用．Ｅ ｍａ ： ｑｈｏ ａｌｑｎ ．ｄ ．ｎ － ｉ ｚｚａ＠ｍ ｉ ｆｕ ｅｕ ｃ ｌ ．
因
｛ｐ Ｊ ￡ ｄ ６ Ｓ［ 口） ｆ Ｕ （Ｉ ＋
。 （ｌ：Ｄ ］ ０ ）ｌ ｍ ） ） ・ ｆＡ）ｄ （ ＝ ｏ ｔ
ｌ Ｊ（ ． ｊ Ｉ ） （． ） ３３
故 由式 （ ． ）和式 （． ）得 ２２ ３２
／（ ， Ｘ） ６ ３ Ｕ
对任一序列 ｛ ｝ ｃＱ， 利用式（．）及假设 （ ３３ ｃ ）可得 ｛ Ｕ｛，『 ｝ ０ Ｆ ∈ ＝ ．再由式 （． ）可知 ， ｝ ２１ 集合
［ ，］更具 一般 形式 的方程 （ ． ）单 调解 的存 在 性 ， 得结 论 推广 了文 献 ［ ，］的结 果 ． １２ １１ 所 １２
２ 预 备知 识
设 Ｅ 为实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， 为零 元 素 ， ， ）是 以 为 圆心 ｒ为半 径 的闭球 ． Ｂ ＝Ｂ（ ｒ 令 为 Ｅ 中所有 非