5.3_留数在定积分计算中的应用概论

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2
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章
留
数
解
(2)
I
| z|1
z2
z2 2
1
2p
1 z
z 1
p2
dz iz
及
2
其 应 用
| z|1
1 z4 2i z2(1 pz)(z
p)
dz
f (z)dz.
| z|1
在 | z| 1内，函数 f (z) 有两个孤立奇点： 二阶极点 z1 0 , 一阶极点 z2 p .
数
及
在上半平面内，ai 与 bi 为一阶极点。
其 应 用
(2) Res[ R(z), ai ] lim (z ai)R(z) zai
2i
a (a2
b2
)
,
Res[ R(z), bi ] lim (z bi)R(z) zai
p)
及 其 应
1 p4 2i p2(1 p2 )
,
用
I 2πi ( Res[ f (z), p] Res[ f (z), p])
2πi
1 p2 2i p2
1 p4 2 i p2(1 p2 )
2π p2 1 p2
.
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章
留
数
解
由于 cos 5 4cos
2020/11/10
第
五
章 留
解
(1) 令
R(z)
z2 z 2 z4 10z2 9
z2 z 2 (z2 1)(z2 9)
数
及
在上半平面内，i 与 3i 为 R(z) 一阶极点 。
其
应 用
(2)
Res[ R(z) , i ]
z2 z 2 (z i)(z2 9)
zi
1i 16
5 .
2 z 1 2
4i z (z 2) z 1 12i 2
I
1 2
I1
1 2
2πi
1 4i
5 12i
π . 6
(实数)
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
二、形如
R(
x ) dx
的积分
五
章 要求 (1) R( x) P( x) , 其中，P(x) , Q(x) 为多项式；
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第 五
§5.3
留数在定积分计算中的应用
章
一、形如
2
0
R(cos ,
sin
) d
的积分
留
数 及
二、形如
R(
x)
dx
的积分
其 应
三、形如
R( x)eiax
dx
(a
0)
的积分
用
2020/11/10
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
一、形如
2
0
R(cos ,
2020/11/10
第 五 章
留 解 由 1 2 p cos p2 (1 p)2 2 p(1 cos ) 及 0 p 1,
数 及
可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。
其 应
(1) 令 z ei ,
用
则 d d z , cos z z1 ,
iz
2
cos 2 ei2 ei2 z2 z2 ,
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章
留
解
(2) 在 | z | 1内， f (z) 有两个一阶极点：z1 0 ,
z2
1 2
.
数
及 其
Res[ f (z), 0] lim z f (z)
1 z2
z0
4i (z 1/ 2)(z 2)
1; 4i
应
z0
用
Res[ f (z) , 1 ] lim z f (z) 1 z2
数
及 其
方法 (2)
2
R(cos , sin )d
0
R z2 1 , |z| 1 2z
z2 1 2i z
1 iz
dz
应
用
f (z)dz
| z| 1
f (z)
2πi Res[ f (z), zk ].
k
其中， zk 是 f (z) 在 | z | 1内的孤立奇点。
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2
2
2z
sin ei ei
z z1 z2 1
,
2i
2i
2iz
2
§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
一、形如
2
0
R(cos ,
sin u, v 的有理函数， 即 R(u, v ) 是以 u, v 为变量
留
的二元多项式函数或者分式函数。
( 注意：一阶极点 z3 1 / p 不在 | z | 1内 ) 5
§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章
留 数
解
(3)
Res[
f (z),
0]
d lim z0 d z
z2
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
及
其 应
lim
z0
(z
pz2
p p2z)4z3 2i (z pz2
sin )d
的积分
五
章 要求 R(u, v ) 是 u, v 的有理函数， 即 R(u, v ) 是以 u, v 为变量
留
的二元多项式函数或者分式函数。
数
及 方法 (1) 令 z ei cos i sin ,
其
应 用
则 d z iei d i z d , d d z ,
iz
cos ei ei z z1 z2 1 ,
(1 p
z4 )(1 p2z)2
2 pz
p2 )
用
1 p2 2i p2
,
事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。
利用洛朗展开 求该点的留数
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章
留 数
解
(3)
Res[
f
(z),
p]
lim
z p
(
z
p)
1 z4 2i z2(1 pz)(z
为偶函数，记 I1 2I
π
cos d . 5 4cos
及 其 应
(1) 令 z ei ,
则 d d z ,
iz
cos z z1 ,
2
用
I1
| z|1
z
z1 2
5
1 4 z
z 1
dz iz
2
1 z2
dz f (z)dz.
|z|1 4i z (z 1 / 2)(z 2)
| z|1
,
Res[ R(z) , 3i ]
z2 z 2 (z2 1)(z 3i)
z3i
3 7i 48
.
(3)
I
2πi
1 i 16
3 7i 48
5π . 12
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§5.3 留数在定积分计算中的应用
2020/11/10
第
五
章 留
解
(1) 令
R(z)
z2 (z2 a2)(z2 b2)
,
Q( x)
留
数
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P(x) 的次数至少高二次；
及
其
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
应
用
方法 R( x)d x 2π i k Res[ R(z), zk ].
其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。
推导 (略)
(进入推导?)
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§5.3 留数在定积分计算中的应用