多尺度方法在力学

( m
1) b r
c2

b3 r3
b2 ]sin 2
16
在胞元增强相即纤维中的物理场
u rf
b
4 f
[( f
3)
r3 b3
a1

r b
d1 ]cos2
uf
b
4 f
[( f

3)
r3 b3
a1

r b
d1 ]sin
2
其中
3 4 23 m 3 4 m f 3 4 f
ue

b
4 23
[ 2r b
(
1) b r
a3

b3 r3
c3 ]sin 2
15
在胞元基体相中的物理场
u rm

b
4m
[( m
3) r 3 b3
a2

r b
d2
( m

1)
b r
c3

b3 r3
b2 ]cos2
um

b
4m
[( m

3)
r3 b3
a2

r b
d2
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宏观－细观平均化算法的流程图
细观（或相对较小 尺度下）周期性的
胞元模型
宏观（或较大尺度 下）的力学模型
连接宏观尺度与细 观尺度（或相对较 小尺度）的广义自
洽模型
将具体的力学问题 数学化，给出程序
并计算
图３. 宏观－细观平均化算法的流程图
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第一部分结束语
需要强调的是，正如我们前文所说，多尺度 方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的 一种计算思想，它本身没有固定的计算格式， 不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺 度方法的应用都必须结合其具体的研究模型 来展开。
2b 2a
12
胞元所包含的信息
基体相和增强相即纤维各自的K氏常数 m
和 f 、剪切模量 m 和 f 、泊松比 m 和 f 以及它们各自的体积分数 Vm 和 Vf 。
需要注意，胞元本身可能并没有达到细观尺 度，但是胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀 介质相比起来，在尺度上已经有很大的跳跃。
多尺度方法在力学 中的应用
指导老师 苏先樾 作者 杨陶令
背景概述
1. 应用的领域非常广泛
例如：a.将固体的微观结构与原子层次的组成分

相结合来预测固体材料的宏观特性

b.气象学中对大气环流的多尺度模拟

c.等等
2. 未来发展不可限量
1
对多尺度方法的说明（一）
1.多尺度方法之所以能够适用于如此广泛地
应用于各种研究领域，就在于能够与具体的 研究背景相结合。 2.从算法的角度来说，多尺度方法本身没有 固定的算法格式，它所体现的更多的是一种 研究的需求和应用的思想，在程序上的实现 必须结合具体的研究模型。可能会应用非线 性方程组的解法，也有可能是统计计算。
2
对多尺度方法的说明（二）
3.考虑到多尺度方法中算法对具体研究模型 的依赖性，在安排具体问题数值计算的过程 中，应当灵活地运用具体问题中的合适条件， 把计算过程加以简化。
4.正因为多尺度方法自身的特殊性，所以我 们要介绍的是，如何结合具体的研究模型的 需要，来运用多尺度的方法。
3
多尺度的力学分析方法
在多尺度的力学分析方法中，比较典型的 算法有： 1.宏观－细观平均化计算方法 2.材料强度的统计计算方法
4
典型的宏观－细观平均化算法 的内容
利用材料的细观周期性的胞元模型和 强调宏观与细观之间相连接的广义自 洽模型相结合来进行计算 ：
1.胞元模型； 2.广义自洽方法。
5
胞元模型
胞元是材料的一个基本结构，它嵌含材料 的细观几何的要素；
就复合材料来说，胞元应包含颗粒形状、 体积百分数、颗粒分布几何、基本结构、 界面状况等相关要素的信息。
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广义自洽方法
考虑宏观和细观的交互作用,具体来 说，就是在平均化的小尺度的胞元 与大尺度的宏观等效介质之间建立 连接。
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连接小尺度的胞元和大尺度的宏观 等效均匀介质的条件
1. 这一条件在不同的问题中可能不尽相同； 2. 在我们以上考虑的这个问题中，这一条
件就是应力和位移的连续性条件，即 r , , ur , u 在界面上连续。
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计算
1.通过以上的分析，得到六个线性方程和两个复杂 的非线性方程。但问题中引进了以下九个未知量： a1, a2 , a3 , b2 , c2 , c3 , d1, d 2 , 23 。
2.通过一定条件将平均化的小尺度的胞 元与大尺度的宏观等效均匀介质进行 自洽连接。
9
算例
复合材料等效模量计算中常用的复合 圆柱模型
图示（见下页）
10
复合圆柱模型的坐标图
1
3
2
图１.复合圆柱模型（坐标图）
11
复合圆wk.baidu.com模型的横截面图
胞元内的纤维束
宏观等效均匀介质
胞元基体
图２.复合圆柱模型（横截面图）
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有关尺度的补充说明
实际操作中，常把宏观－细观平均化计算 方法在多尺度思想上作进一步的推广，即 往往并不要求胞元达到细观尺度，而是相 对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对 较小的尺度。两者在尺度上已经形成了很 大幅度的跳跃。
8
在不同尺度之间的连接
1.分别考虑较小尺度的胞元内的物理量 和胞元周围较大尺度的等效均匀介质 中的物理量；
21
第一部分结束
谢谢大家！
13
问题
需要计算的是该复合材料的有效材料 常数。这里以2－3平面内的有效剪切 模量为例：
23 ?
14
在宏观等效均匀介质中的物理场
在无限远场的剪切变形条件下，利用圆柱坐 标系求解的位移场是：
u re

b
4 23
[ 2r b
(
1) b r
a3

b3 r3
c3 ]cos2
2.结合具体问题，利用能量原理给出第三个非线性 方程，这样就得到了由九个未知量构成的九个方 程。
3.不要立刻求解这一看起来似乎非常复杂的方程组， 由于九个未知量中只有 23 是我们关心的，所以 先考虑方程组是否可以做一定的简化，以减少计 算量。原问题最后可以化为关于 23 的一个非线 性方程。