第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质

第2课时 等比数列的性质

学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算．

知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1q n －

1① ＝a m q n －m ② ＝a 1

q

·q n ③ 其中当②中m ＝1时，即化为①.

当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1

q ·q x 为指数型函数．

知识点二 等比数列常见性质

(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n －m ＋1(n >m 且n ，m ∈N *)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；

(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2

k q )的等比数列；

(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别

是q ，1

q

，q 2.

(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n

b n 也都是等比数

列，公比分别为pq 和p

q

.

1．a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )

4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )

题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中． (1)已知a 4＝2，a 7＝8，求a n ；

(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，

即q 3＝4，∴q ＝3

4，

∴a n ＝a 4·q n －4＝2·(3

4)n －4＝2·4

2

32n -⎛⎫ ⎪

⎝⎭

＝2533

2

n -(n ∈N *)．

(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5

≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .

由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝1

2

或q ＝2.

∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，q ＝2.

∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．

反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.

跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.

题型二等比数列的性质及其应用

例2已知{a n}为等比数列．

(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25

＝(a3＋a5)2＝25，

∵a n>0，

∴a3＋a5>0，

∴a3＋a5＝5.

(2)根据等比数列的性质，得

a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3(a1a2…a9a10)

＝log395＝10.

反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7

答案C

解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，

∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.

题型三由等比数列衍生的新数列

例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．52

答案D

解析∵{a n}为等比数列，

∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，

∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)