飞行力学第六章-运动方程

v dV dV x v dV y v dVz v j+ k i+ = dt dt dt dt v v v di dj dk + Vx + V y + Vz dt dt dt
单位矢量的微分
r di r r =ω×i dt
r dj r r =ω× j dt
r dk r r =ω×k dt
飞行器飞行力学2010
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6-2 飞机绕质心转动的动力学方程
动量矩定理：
v v dh = ΣM dt
微元动量矩
v v v Δh = ∫ r ×Vdm
v v v v V = VO + ω × r v v v v v v v v 全机动量矩 h = r ×Vdm = rdm×VO + r × (ω × r )dm ∫ ∫ ∫ v v v v 对质心 h = ∫ r × (ω × r )dm
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根据速度之间的关系
u = V cos α cos β ⎫ ⎪ v = V sin β ⎬ w = V sin α cos β ⎪ ⎭
可得
du dV dα dβ ⎫ V sin α cos β − V cos α sin β ⎪ cos α cos β − = dt dt dt dt ⎪ dv dV dβ ⎪ V cos β sin β + = ⎬ dt dt dt ⎪ dw dV dα dβ ⎪ sin α cos β + V cos α cos β − V sin α sin β ⎪ = dt dt dt dt ⎭
固连于飞行器的任意动系中质心的转动动力学方程
v v dh δh v v = +ω×h dt δt
得转动动力学方程为
⎡ 0 v v ⎢ 其中 ω × h = ⎢ ω z ⎢− ω y ⎣
− ωz 0
ωx
ω y ⎤ ⎡ hx ⎤ ⎥⎢ ⎥ − ω x ⎥ ⎢hy ⎥
0 ⎥ ⎢ hz ⎥ ⎦⎣ ⎦
⎡ Ix ⎢ ⎢ − I xy ⎢ − I zx ⎣ ⎡ 0 ⎢ ⎢ ωz ⎢− ω y ⎣
− I zx ⎤ ⎡ω x ⎤ ⎡ M x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − I yz ⎥ ⎢ω y ⎥ = ⎢ M y ⎥ I z ⎥ ⎢ω z ⎥ ⎢ M z ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣
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得
dω x ⎫ 2 2 + ( I z − I y )ω y ω z + I yz (ω z − ω y ) + ⎪ Ix dt ⎪ dω y dω z ⎪ I xy (ω x ω z − ) − I zx (ω x ω y + ) = Mx⎪ dt dt ⎪ dω y ⎪ 2 2 + ( I x − I z )ω x ω z + I zx (ω x − ω z ) + ⎪ Iy ⎪ dt ⎬ dω z dω x I yz (ω x ω y − ) − I xy (ω y ω z + ) = M y⎪ ⎪ dt dt ⎪ dω z 2 2 + ( I y − I x )ω x ω y + I xy (ω y − ω x ) + ⎪ Iz ⎪ dt ⎪ dω y dω x I zx (ω y ω z − ) − I yz (ω z ω x + ) = Mz ⎪ ⎪ dt dt ⎭
稳定性 指飞行器在受到外界瞬时扰动后，是否具有自动地恢 复到原来平衡状态的能力。 操纵性 指飞行器对驾驶员操纵或舵面指令输入的响应，即从 一种飞行状态过渡到另一种飞行状态的能力.
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引言（续）
假设 1、刚性假设 2、静止地球与平面大地假设 3、标准大气假设 4、忽略旋转部件及液体晃动的影响。 运动方程 刚体六自由度数学模型。包括六个动力学方程：其中 三个用来描述质心的平动，三个描述飞行器绕质心的 转动。另外，还有六个运动学方程，分别用来描述飞 行器在空间的位置和姿态。
⎡W x ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ Wy ⎥ = m⎢ ⎥ ⎢ ⎢W z ⎥ ⎢ g⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦g
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航迹 轴系 χ, γ 矢量形式方程组 地面 轴系
μ (无风时)
气流 轴系 α,β 机体 轴系
ψ,θ,φ
v v v dVk δVk v = + ω k × Vk δt dt v v v = L kb Tb + L ka Aa + L kg W g
v v dV δV v v = + ω ×V 绝对加速度 dt δt v δ V dV x v dV y v dV z v = j+ k i + 其中 δt dt v dt dt v dV =F m 根据动力学方程 dt v v δV v v 得 m( + ω ×V ) = F δt ⎡ 0 ω y ⎤ ⎡V x ⎤ − ωz 根据 v v ⎢ ⎥⎢ ⎥ ω ×V = ⎢ ω z 0 − ω x ⎥ ⎢V y ⎥ ⎢− ω y ω x 0 ⎥ ⎢V z ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣
2 2 2 2
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令
I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dm I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm I z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm
I xy = ∫ xydm I yz = ∫ yzdm I zx = ∫ xzdm
则有
hx = ω x I x − ω y I xy − ω z I zx ⎫ ⎪ hy = ω y I y − ω x I xy − ω z I yz ⎬ ⎪ hz = ω z I z − ω x I zx − ω y I yz ⎭
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微元绝对速度
因为
v v v v v 2 v v v h = ∫ r × (ω × r )dm = ω ∫ r dm − ∫ r (ω ⋅ r )dm
由
v v v ω = ω xi + ω y j + ωzk v v v v r = xi + yj + y z k v
有
r = x + y +z v v ω ⋅ r = ω x x + ω y y + ωz z
外力分量
1、推力
⎡Tx ⎤ ⎡ T cos ϕ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ty ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢Tz ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b ⎢ − T sin ϕ ⎥
3、重力
2、气动力
⎡ Ax ⎤ ⎡− D⎤ ⎢ ⎥ ⎢ C ⎥ Ay ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Az ⎥ ⎢ − L⎥ ⎦ ⎣ ⎦a ⎣
⎡W x ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ Wy ⎥ = m⎢ ⎥ ⎢ ⎢W z ⎥ ⎢ g⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦g
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标量形式方程组
dV ⎫ m = T cos(α + ϕ ) cos β − D − mg sin γ ⎪ dt ⎪ dχ mV cos γ = T [sin(α + ϕ ) sin μ − cos(α + ϕ ) sin β cos μ ]⎪ ⎪ dt ⎪ + L sin μ + C cos μ ⎬ ⎪ dγ − mV = T [− cos(α + ϕ ) sin β sin μ − sin(α + ϕ ) cos μ ] ⎪ dt ⎪ ⎪ − L cos μ + C sin μ − mg cos γ ⎪ ⎭
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外力分量
1、推力
⎡Tx ⎤ ⎡ T cos ϕ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ty ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢Tz ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b ⎢ − T sin ϕ ⎥
3、重力
2、气动力
⎡ Ax ⎤ ⎡− D⎤ ⎢ ⎥ ⎢ C ⎥ Ay ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Az ⎥ ⎢ − L⎥ ⎦ ⎣ ⎦a ⎣
转动惯 量矩阵
矩阵 形式
⎡ hx ⎤ ⎡ I x ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ hy ⎥ = ⎢ − I xy ⎢ hz ⎥ ⎢ − I zx ⎣ ⎦ ⎣
− I xy Iy − I yz
− I zx ⎤ ⎡ω x ⎤ ⎥⎢ ⎥ − I yz ⎥ ⎢ω y ⎥ I z ⎥ ⎢ω z ⎥ ⎦⎣ ⎦
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航迹 轴系 χ, γ 矢量形式方程组 地面 轴系
μ (无风时)
气流 轴系 α,β 机体 轴系
ψ,θ,φ
v v v dVb δVb v = + ω b × Vb δt dt v v v = Tb + Lba Aa + Lbg W g
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标量形式方程组
du ⎫ m ( + qw − rv ) = T cos ϕ − D cos α cos β ⎪ dt ⎪ − C cos α sin β + L sin α − mg sin θ ⎪ ⎪ dv ⎪ m ( + ru − pw ) = − D sin β + C cos β + mg sin φ cos θ ⎬ dt ⎪ dw ⎪ m( + pv − qu) = −T sin ϕ − D sin α cos β ⎪ dt ⎪ − C sin α sin β − L cos α + mg cos φ cos θ ⎪ ⎭
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引言（续）
本章主要内容 (1) 应用牛顿第二定律、动量矩定律和运动学原理，导 出飞行器相对于动坐标轴系的一般运动方程组； (2) 根据小扰动假设，将非线性运动方程组线性化； (3) 根据某些简化条件，将纵向运动和横侧运动分开， 得到飞行器的纵向和横侧运动方程组。
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解出
dV / dt , dα / dt , dβ / dt
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在α、β 不大的快速机动中，可近似认为速度不 变，且
u ≈ V = const ⎫ ⎪ v ≈ Vβ ⎬ ⎪ w ≈ Vα ⎭
从而有
T cos ϕ − Z b g dα ⎫ = q − pβ − + cos φ cos θ ⎪ ⎪ dt mV V ⎬ Yb dβ g ⎪ = pα − r + + sin φ cos θ ⎪ dt mV V ⎭
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三、在机体坐标系中的平动动力学方程
速度分量
⎡V x ⎤ ⎡u⎤ ⎢ ⎥ ⎢v ⎥ ⎢V y ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢Vz ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b ⎢w⎥
角速度分量
⎡ω x ⎤ ⎡ p⎤ ⎢ ⎥ ⎢q⎥ ⎢ω y ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ω z ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦b ⎢ r ⎥
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可得标量方程组为：
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质心动力学方程
dV x ⎫ m( + Vzω y − V yω z ) = Fx ⎪ dt ⎪ dV y ⎪ m( + V xω z − Vzω x ) = F y ⎬ dt ⎪ dVz ⎪ m( + V yω x − V xω y ) = Fz ⎪ dt ⎭
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二、在航迹坐标系中的平动动力学方程
速度分量
⎡V x ⎤ ⎡V ⎤ ⎢ ⎥ Vy ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢Vz ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦k ⎢ 0 ⎥
角速度分量
r r v & ω = ψ a + θ&a
& & ⎡ω x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ − ψ a sin θ a ⎤ ⎡ − χ sin γ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ + ⎢θ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ γ& ⎥ & & θa ⎥ ⎢ω y ⎥ = Lkg ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ω z ⎥ ⎢ψ a ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ψ a cos θ a ⎥ ⎢ χ cos γ ⎥ ⎦ ⎣& ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ & ⎣ ⎦k
6-1飞机质心运动的动力学方程
基本原理： 牛顿第二运动定律
v v dV m =F dt
一、任意动坐标系中质心运动方程
速度和角速度在动坐标系的投影
v v v v V = V x i + V y j + Vz k v v v v ω = ω xi + ω y j + ωzk
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速度的微分
− I xy Iy − I yz − ωz 0
− I zx ⎤ ⎡dω x / dt ⎤ ⎥⎢ ⎥ − I yz ⎥ ⎢dω y / dt ⎥ + I z ⎥ ⎢ dω z / dt ⎥ ⎦ ⎦⎣
Fra Baidu bibliotek
ωx
ω y ⎤⎡ I x ⎥⎢ − ω x ⎥ ⎢ − I xy
0 ⎥ ⎢ − I zx ⎦⎣
− I xy Iy − I yz
第六章
飞机的运动方程
内容
引言 动力学方程 平动动力学方程 转动动力学方程 运动学方程 平动运动学方程 转动运动学方程 线性化 线性化方程的分组 ——纵向/横侧向
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引言
研究内容 性能 飞行品质 质点动力学系统 质点系动力学系统
操纵性与稳定性：研究飞机在外力和 外力矩作用下运动参数的变化特性。