线性代数行列式计算方法总结

an
1 0
bL 0L a2 b O OO L0
b 0 M 0 an b n1
n
1
b
i1 ai b
c1
ai
1
bci1
0 0
M
0
b
a1 b 0 M 0
bL
0L a2 b O
OO L0
b
0 M 0 an b n1
=
(a1 b)(a2
b)L
(an
b)(1
n i 1
b) ai b
例6 计算n阶行列式
a0 b1 b2 L bn
例2 计算下列行列式
c1 a1 0 L 0
Dn1 c2 0 a2 L 0 , ai 0,i 1, 2,L , n
箭形
M M MO M
解：将第i+1（i=1,2,…,n）列的 ci ai
a0
n i 1
bi ci ai
b1
cn 0 0 L an
倍加到第1列，得
b2 L bn
b11 ... b1t ... ... bt1 ... btt
r4
3r3
2
0 0
1 0
2 12
3 =8 0
20 0
1 0
2 3
3 5
r3
r4
0 0 41 63
00 5 3 00 5 3
1 8 1 1 1 8 1 1
1 8 1 1
80
0
1 0
2 2
3 2
=16
0 0
1 0
2 1
3 1
r4
5r3
16
0 0
1 0
2 1
3 1
=128
005 3 005 3
000 8
a a 1 0 0 L 1 a a 1 0 L
01 Dn M M
a a 1 L MM
递推法
0 0 0 0L 0 0 0 0L
00 0 00 0 00 0 MM M 1 a a 1 01 a
解：按第一行展开，得Dn aDn1 (a 1)Dn2 ,等号两端减Dn1，得 Dn Dn1 aDn1 Dn1 (a 1)Dn2 (a 1)(Dn1 Dn2 )
1 1 1 L 1 1
将第n列分 1,2，…，
1 1 1 L 1 1
n 1 n n 1 L 0 2 2 L 0 0 2 L
= M M MO 0 0 0L 0 0 0L
2n 3 n 1 2 1 2 1 MM 2 1 0 1
= (-1)n1(n 1)2n2
例5 计算n阶行列式 加边法
a1 b b L b a2 b L Dn b b a3 O M MO O
M MO M
0 0 L xa
小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列
式 特征，亦可以使用以简化运算。
例4 计算n阶行列式 Dn aij ,其中 aij i j (i, j 1, 2,L , n)
解：由题意得
0 1 2 L n 2 n 1 1 0 1 L n3 n2
2 1 0 L n4 n3 Dn M M M O M M
这是一个关于Dn Dn1的递推公式，反复使用递推公式，得，
Dn Dn1 (a 1)2 (Dn2 Dn3 ) L (a 1)n2 (D2 D1)
因为
a D2 1
a 1 a
a2
a
1,
D1
a,
D2
D1
百度文库
(a
1)2
所以 Dn Dn1 = (a 1)n2 (D2 D1) = (a 1)n
即 Dn Dn1 (a 1)n
分块三角形法
D= 1 2 2 1 5 3 410 2
5 6 8 4 14
21 5
1 2
1 解：不妨令D1
2 ，D2 1
0
34
5
C 3
4 所以，原行列式可化
8 4 14
56
为 D= D1 C
O D2 = D1 D2 = 12
规律总结：当遇到如下形式的行列式时，
a11 ... a1k
... ...
b bL b
b b M, b ai , i 1,L , n. b an
解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等 于原行列式
1b bL 0 a1 b L Dn 0 b a2 O M MO O 0bL b
b
1b
b
ri r1 1 a1 b
b 1 0
i2,L ,n1
b
MM
x aL a xL M MO a aL
a r1 ri x (n 1)a
a
a
i 1,2,...,n
M
M
x
a
x (n 1)a L
x
L
MO
a
L
x (n 1)a a M x
11L 1
x (n 1)a a x L
M MO a aL
a ri ar1 Mi 2,...,n
x
11L 1
x (n 1)a 0 x a L 0 x (n 1)a(x a)n1
逐行相减法
n2 n3 n4 L 0 1
n 1 n 2 n 3 L 1 0
将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，… ，第1行的（-1）倍加至第2行，有
0 1 2 L n-2 n 1
1 1 1 L 1 1 别加到前边1 的第1 1 L 1 1
Dn M M M O M M n-1列.
上三角行列式
0
Dn1
0
a1 0 L 0 0 a2 L 0
M
M MO M
0
0 0 L an
=a1a2 L
an (a0
n i 1
bici ) ai
例3 计算n阶行列式 x a L a a xL a M MO M
加法
a aL x
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
线代学习小组第4组
例1 计算四阶行列式
5 2 3 5
D=
2 1
5 0
1 3
2 5
2 3 5 4
解 利用行列式的性质，将 D 化为上三角行列式.
5 2
D=
1 2
2 5 0 3
3 1 3 5
5
1
2 5
r1
2r2
2 1
4
2
8 5 0 3
1 1 3 5
1 2 5
r2 r3
2r1 r1
4 r4 _ 2r1
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
0
2
0
21 8
1 4
0 4
r2 r4
0 0
2 8
46 0
=2
44 0
1 8
2 3 r3 8r2 4 4 r4 19r2
0 19 3 6
0 19 3 6 0 19 3 6
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
20
0
1 0
2 12
3 20
从而 Dn Dn1 (a 1)n Dn2 (a 1)n1 (a 1)n L a (a 1)2 L (a 1)n1 (a 1)n
n1
(a
1)2 (a 2a
1)n1
a
a=2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值
1 200 0
3 400 0
0
a11 ... a1k
ak1 ... akk
...
...
c11 ... c11 b11 ... b1t
ak1 ... akk
... ... ... ...
ct1 ... ctk bt1 ... btt
AO
简记为
= A B ， 这里的A,B必须为方阵。
CB
而 O Am (1)mn A B Bn C