三角形的证明(培优).docx

精品文档

三角形的证明 (培优 )

出题人：张丹霞姓名：

题型一全等三角形

例 1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图① 中的两张三角形胶片△ ABC和△ DEF.将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把△ DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时AC 与 DF 相交于点O.

（ 1）当旋转至如图② 位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠ AFD与∠ DCA的数量关系是；

（ 2）当△ DEF 继续旋转至如图③ 位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（ 3）在图③中，连接BO、AD ，探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明.

变式 1: 如图 ,已知点 D 为等腰直角△ABC内一点，∠ CAD =∠CBD =15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证： DE 平分∠BDC ；

（2）若点 M 在 DE 上，且 DC =DM ，求证： ME =BD．

变式 2: 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图① 所示放置，图② 是由它抽象出的几何图形，点B、C、E 在同一条直线上，连接DC.

(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

(2)求证： DC ⊥BE．

变式 3: 在△ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥ MN 于 D， BE⊥ MN 于 E．（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： DE =AD +BE；

（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE =AD -BE；

（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE 、 AD 、 BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

题型二等腰三角形的性质

例 2. 如图 1，△ ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC⊥BC，且 AC=BC；△ EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP.

（ 1）在图 1 中，请你通过观察测量，猜想并写出AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；

（ 2）将△ EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ.猜想并写出BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（ 3）将△ EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交AC 的延长线于点Q，连结 AP 、BQ，你

认为（ 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理

由 .

变式 1: 如图，已知△ABC

CD 相交于点 F，H

（1）求证：BF=AC

1（2）求证：CE=

中，∠ ABC =45°， CD ⊥ AB

是 BC 边的中点，连接 DH

；

BF ；

于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与与 BE相

交于点 G．

（3）CE 与 BG 的大小关系如何？试证明你的结论．

变式 2: 已知：如图①，在平面直角坐标xOy 中，边长为 2 的等边△ OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰△ OCA 的顶点 C 在第四象限，OC＝ AC，∠ C＝ 120°．现有两动点P、 Q 分别从 A、O 两点同时出发，点Q 以每秒 1 个单位的速度沿OC 向点 C 运动，点P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→ O→ B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（ 1）求在运动过程中形成的△ OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；

（2）在等边△OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D ，使得△ OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件

的点 D 的坐标；

（3）如图②，现有∠ MCN ＝ 60°，其两边分别与 OB、 AB 交于点 M、 N，连接 MN ．将∠ MCN 绕着 C 点旋转（ 0°＜旋转角＜ 60°），使得 M、N 始终在边OB 和边 AB 上．试判断在这一过程中，△BMN的周

长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

题型三等腰三角形的判定

例 3. 如图①， Rt△ ABC 中，∠ACB=90°， CD ⊥ AB，垂足为 D， AF 平分∠CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F.

（1）求证： CE=CF；

（ 2）将图①中的△ADE 沿 AB 向右平移到△ A'D'E' 的位置，使点E'落在 BC 边上，其它条件不变，如图② 所示，试猜想： BE' 与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论.

变式 1: 已知：在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF．

变式 2: 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l ：y=1

A、x+m 与 x、y 轴的正半轴分别相交于点

B，过点 C ( 4, 4)画平行于y 轴的直线交直线AB 于点 D， CD =10 ．

（1）求直线 l 的解析式；

（2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；

（ 3）如图 2，将直线 l 沿 y 轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线 CD 上存在点P，使得△ A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．

题型四等边三角形

例 4. (1) 如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形 OCD ，连接 AC 和 BD，相交于点E，连接 BC．求∠ AEB 的大小；

(2)如图 2，△ OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△ OCD 绕点 O 旋转（△OAB 和△OCD

不能重叠），求∠ AEB 的大小．

变式 1: 如图 1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC

B 不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段上任意一点（点 P 与点AQ，连接 QE 并延长交

射线 BC 于点 F．

（1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF =，猜想∠QFC =；

（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；

（3 ）已知线段 AB = 2 3，设 BP = x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 .

题型五直角三角形

例 5. 已知 Rt

ABC 中， ACB 90o ， AC

BC ， MCN

45o .

MN 2

AM 2

(1) 如图○ ，当 M 、 N 在 AB 上时，求证：

BN ；

(2) 如图○2 ，将 MCN 绕 C 点旋转，当 M 在 BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由 .

C C

M N

B M A N B

变式 1: 如图，在 Rt

ABC 中，

A 90o ， D 为斜边 BC 的中点， DE

DF ，求证： EF 2 BE 2

CF 2.

变式 2: 如图，在 Rt

ABC 中， ACB

90o ， CD AB 于D ，设 AC

b ， BC a ， AB

c ， CD h .

(2) a b

c h ；

求证： (1)

h 2

；

a b

(3)以 a b 、 h 、 c h 为边的三角形是直角三角形 .

A D B