投入产出数学模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
流量 投入
生 产 部 门 煤矿 电厂
产出
煤 矿 0 25522
消耗部门 外界需求 电厂 36506 2808 铁 路 15582 2833 50000 25000 102088 56163 总产出
铁路 新创造价值
总产出
25522 51044
102088
2808 14041
56163
0 9915
28330
(4)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1 x x x z x 12 22 n2 2 2 x1n x2 n xnn zn xn
三个企业各创造多少新价值?
解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周
内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总
产值, 则 x1 (0 x1 0.65 x2 0.55 x3 ) 50000 x2 (0.25 x1 0.05 x2 0.10 x3 ) 25000 x (0.25 x 0.05 x 0 x ) 0 3 1 2 3
完全消耗系数矩阵。
定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
bij aij bik akj i, j 1,2,, n
k 1
n
定理4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
B E A E
1
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
令 X x1
(10)
x2 xn , Y y1
y2 yn ，
(11)
(10)式可表示为
E A X Y
AX Y ，或 X
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(6)得到
a11 x1 a21 x2 an1 xn z1 x1 a x a x a x z x 12 1 22 2 n2 n 2 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn zn xn
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 外界需求 煤 矿 生 产 部 门 煤矿 电厂 铁路 新创造价值 总产出 0*x1 0.25*x1 0.25*x1 ? x1 电厂 0.65*x2 0.05*x2 0.05*x2 ? x2 铁 路 0.55*x3 0.1*x3 0*x3 ? x3 50000 25000 0 x1 x2 x3 总产出
则原方程为
E A X D ，其中E-A为列
0 9915
28330
0
28330
表1：投入产出表（一般格式）
流量 投入 产出
消耗部门
1 2 n
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
x11 x21 xn1
x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
要性质：
性质1 性质2
0 aij 1 i, j 1,2,, n
a
i 1
n
ij
1 j 1,2,, n
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11 x1 a12 x2 a1n xn y1 x1 a x a x a x y x 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn yn xn
写成矩阵形式为
(12)
X DX Z 或 E D X Z
n D diag ai1 其中 i 1 Z z1
(13)
a
i 1
n
i2
ain , i 1
n
z2 zn
定理1
列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y1
的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元
的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。
问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身
及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？
(5)
xij z j x j j 1,2,, n
i 1
n
(6)
由(4)和(6)，可得
y z
i 1 i j 1
n
n
j
(8)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
例： 三部门投入产出表
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 合 计 z1 z2 zn 值
总投入
x1
x2 xn
投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表1中第一行x1表
示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
x 量， 1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
x1 设产出向量为 X x2 ， x 3 50000 外界需求向量为 D 25000 ， 0
0.65 0.55 0 直接消耗矩阵为 A 0.25 0.05 0.10 。 0.25 0.05 0
X E A Y
1
0.63 0.09 0.09 235 400 1 0.17 0.59 0.095 125 300 0.4455 0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李 媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、 人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高 低的主要标志。 投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
0
28330
二、直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作 由定义得
aij i, j 1,2,, n
。 (9)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应 的 aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
最终需求
245 90 175
总产出
400 250 300
xij 解 由直接消耗系数的定义 aij ，得直接 xj
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
27 5 8 1 1 E A 1 15 4 10 8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8 1 0.1 0.5 0.4 B E A E 0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。
车间 直耗系数 车间
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
最终需求
235 125 210
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
解
0.75 0.1 0.1 E A 0.2 0.8 0.1 0.1 0.1 0.8
0.63 0.09 0.09 1 1 E A 0.17 0.59 0.095 0.4455 0.1 0.085 0.58
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
(3)
x
j 1
n
ij yi xi i 1,2,, n
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，
不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出
如下定义。
定义2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部
门对第i部门的完全消耗系数，记作
bij i, j 1,2,, n 。
由bij 构成的n阶方阵 B bij 称为各部门间的
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 y j (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (1) (2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
y2 yn
已知，则由定理1知，方程(11)存在惟一 EA X 解 X x1 x2 x。 n
YLeabharlann Baidu
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。 例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周
期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表3，求各车间的总产值。
表3 某工厂投入产出表
xij aij i, j 1,2,, n xj
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表2，试求直接消耗系数矩阵。
表2 某经济系统投入产出表 产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 中间消耗 1 2 3 100 25 30 80 50 30 40 25 60 净产值 180 150 180 总投入 400 250 300
型投入产出表如表4，
表4 某公司三个生产部门间投入产出表 产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 中间消耗 1 2 3 1500 0 600 0 610 600 250 1525 3600 最终需求 总产出
400 1840 625
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
例： 三部门投入产出表
流量 投入
生 产 部 门 煤矿 电厂
产出
煤 矿 0 25522
消耗部门 外界需求 电厂 36506 2808 铁 路 15582 2833 50000 25000 102088 56163 总产出
铁路 新创造价值
总产出
25522 51044
102088
2808 14041
56163
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1 0 0.2 0.1 1 0 2 1 A 10 0.1 0.5 0.6 1 5 6 0 1 4 1 E A 0 8 1 10 1 5 4
四、投入产出实现模型的简单应用
投入产出法来源于一个经济系统各部门生
产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时
各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产
品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广
泛应用。
例4
某地有三个产业，一个煤矿，一个发电
厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付
0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱
生 产 部 门 煤矿 电厂
产出
煤 矿 0 25522
消耗部门 外界需求 电厂 36506 2808 铁 路 15582 2833 50000 25000 102088 56163 总产出
铁路 新创造价值
总产出
25522 51044
102088
2808 14041
56163
0 9915
28330
(4)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1 x x x z x 12 22 n2 2 2 x1n x2 n xnn zn xn
三个企业各创造多少新价值?
解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周
内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总
产值, 则 x1 (0 x1 0.65 x2 0.55 x3 ) 50000 x2 (0.25 x1 0.05 x2 0.10 x3 ) 25000 x (0.25 x 0.05 x 0 x ) 0 3 1 2 3
完全消耗系数矩阵。
定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
bij aij bik akj i, j 1,2,, n
k 1
n
定理4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
B E A E
1
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
令 X x1
(10)
x2 xn , Y y1
y2 yn ，
(11)
(10)式可表示为
E A X Y
AX Y ，或 X
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(6)得到
a11 x1 a21 x2 an1 xn z1 x1 a x a x a x z x 12 1 22 2 n2 n 2 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn zn xn
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 外界需求 煤 矿 生 产 部 门 煤矿 电厂 铁路 新创造价值 总产出 0*x1 0.25*x1 0.25*x1 ? x1 电厂 0.65*x2 0.05*x2 0.05*x2 ? x2 铁 路 0.55*x3 0.1*x3 0*x3 ? x3 50000 25000 0 x1 x2 x3 总产出
则原方程为
E A X D ，其中E-A为列
0 9915
28330
0
28330
表1：投入产出表（一般格式）
流量 投入 产出
消耗部门
1 2 n
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
x11 x21 xn1
x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
要性质：
性质1 性质2
0 aij 1 i, j 1,2,, n
a
i 1
n
ij
1 j 1,2,, n
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11 x1 a12 x2 a1n xn y1 x1 a x a x a x y x 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn yn xn
写成矩阵形式为
(12)
X DX Z 或 E D X Z
n D diag ai1 其中 i 1 Z z1
(13)
a
i 1
n
i2
ain , i 1
n
z2 zn
定理1
列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y1
的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元
的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。
问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身
及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？
(5)
xij z j x j j 1,2,, n
i 1
n
(6)
由(4)和(6)，可得
y z
i 1 i j 1
n
n
j
(8)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
例： 三部门投入产出表
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 合 计 z1 z2 zn 值
总投入
x1
x2 xn
投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表1中第一行x1表
示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
x 量， 1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
x1 设产出向量为 X x2 ， x 3 50000 外界需求向量为 D 25000 ， 0
0.65 0.55 0 直接消耗矩阵为 A 0.25 0.05 0.10 。 0.25 0.05 0
X E A Y
1
0.63 0.09 0.09 235 400 1 0.17 0.59 0.095 125 300 0.4455 0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李 媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、 人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高 低的主要标志。 投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
0
28330
二、直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作 由定义得
aij i, j 1,2,, n
。 (9)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应 的 aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
最终需求
245 90 175
总产出
400 250 300
xij 解 由直接消耗系数的定义 aij ，得直接 xj
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
27 5 8 1 1 E A 1 15 4 10 8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8 1 0.1 0.5 0.4 B E A E 0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。
车间 直耗系数 车间
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
最终需求
235 125 210
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
解
0.75 0.1 0.1 E A 0.2 0.8 0.1 0.1 0.1 0.8
0.63 0.09 0.09 1 1 E A 0.17 0.59 0.095 0.4455 0.1 0.085 0.58
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
(3)
x
j 1
n
ij yi xi i 1,2,, n
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，
不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出
如下定义。
定义2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部
门对第i部门的完全消耗系数，记作
bij i, j 1,2,, n 。
由bij 构成的n阶方阵 B bij 称为各部门间的
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 y j (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (1) (2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
y2 yn
已知，则由定理1知，方程(11)存在惟一 EA X 解 X x1 x2 x。 n
YLeabharlann Baidu
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。 例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周
期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表3，求各车间的总产值。
表3 某工厂投入产出表
xij aij i, j 1,2,, n xj
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表2，试求直接消耗系数矩阵。
表2 某经济系统投入产出表 产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 中间消耗 1 2 3 100 25 30 80 50 30 40 25 60 净产值 180 150 180 总投入 400 250 300
型投入产出表如表4，
表4 某公司三个生产部门间投入产出表 产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 中间消耗 1 2 3 1500 0 600 0 610 600 250 1525 3600 最终需求 总产出
400 1840 625
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
例： 三部门投入产出表
流量 投入
生 产 部 门 煤矿 电厂
产出
煤 矿 0 25522
消耗部门 外界需求 电厂 36506 2808 铁 路 15582 2833 50000 25000 102088 56163 总产出
铁路 新创造价值
总产出
25522 51044
102088
2808 14041
56163
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1 0 0.2 0.1 1 0 2 1 A 10 0.1 0.5 0.6 1 5 6 0 1 4 1 E A 0 8 1 10 1 5 4
四、投入产出实现模型的简单应用
投入产出法来源于一个经济系统各部门生
产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时
各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产
品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广
泛应用。
例4
某地有三个产业，一个煤矿，一个发电
厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付
0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱