分段函数与映射

①A=R,B=R,f:x→y= 1 ; x 1
②A={2018 年俄罗斯世界杯足球赛的运动员},B={2018 年俄罗斯世界杯足球 赛的运动员的体重},f:每个运动员对应自己的体重; ③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 x . (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个
由图可知函数值域为[0,4].
(2)已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
解析:(2)当 x∈[-1,0]时,y=x+1;
当 x∈(0,2]时,y=- 1 x, 2
故 f(x)的解析式为
f(x)=
x
1,1 x 0, 1 x,0 x 2. 2
x 1, 1 x 0
x 1, x 2,
[例 1]
已知函数
f(x)=
x2
2x,
2
x
2,
2x 1, x 2.
(1)求 f(-5),f(- 3 ),f(f(- 5 ))的值; 2
(2)若f(a)=3,求实数a的值.
(3)若f(f(a))=3,求a.
例2.已知函数f(x) 3x22x22x3,,xx11,, 若 f a =1，则 a
1 2x, x 2, 解:(1)y=|x+2|+|x-3|= 5,2 x 3,
2x 1, x 3. 函数图象如图所示,由图象可知函数值域为[5,+∞).
(x 1)2, 3 x 0,
(2)f(x)=
x,
0
x
3,
9
,3
x
9.
x
3 f (x) | x2 2x 3 |
解:(2)函数 f(x)的图象如图实线部分所示.
第二课时 分段函数与映射
新知导学·素养养成
1.分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对 应关系,则称这样的函数为分段函数. 思考1:怎样求分段函数的定义域、值域? 答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值 域的并集. 2.映射 设A,B是 非空 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中 的 任意一个 元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那么就 称对应 f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
思考2:函数与映射的关系是什么? 答案:函数是一类特殊的映射,若构 成映射的两个集合是非空的数集,则 该映射一定是函数. 思考3:若映射f:A→B,集合A中元素 在对应法则f下的元素构成集合C,则 B与C相等吗? 答案:B与C不一定相等,它们之间的 关系是C⊆B.
课堂探究·素养提升
题型一 分段函数求值
2x,0 x 4,
解:(2)画出函数 y= 8,4 x 8,
的图象,如图所示.
24 2x,8 x 12
题型四 映射
[例4] 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的映射. (1)A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},对应关系f:“加1”; (2)A=N*,B={0,1,2,3,4},f:除以5的余数;
2 当点 P 在 CD 边上, 即 4<x≤8 时,S△APB= 1 ×4×4=8;
2 当点 P 在 DA 边上,即 8<x≤12 时, S = △APB 1 ×4×(12-x)=24-2x.
2 2x,0 x 4,
所以 y= 8,4 x 8, 242x,8 x 12.
(2)画出函数y的图象.
求使 f x 2 成立的 x 的值组成的集合.
[备用例 1]
(1)设函数
f(x)=
1, x 0, 0, x 0, 1, x 0,
g(x)=
10,,xx为为有无理理数数，，则
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f(g(π))的
值为( )
(A)1 (B)0
(C)-1 (D)π
题型二 分段函数的图象
[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域. (1)y=|x+2|+|x-3|;
答案:(2)f(x)=
1 2
x, 0
x
2
[备用例3] 如图,在边长为4的正方形ABCD边上有一点P,由点B(起点)沿着 边BC,CD,DA向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求:
(1)y与x之间的函数解析式;
解:(1)当点 P 在 BC 边上,即 0≤x≤4 时, S = △APB 1 ×4x=2x;