经济应用数学课件第二章

2、左、右导数
定义2.1.3
若函数 f (x) 在点x0 处以下左、右极限
lim f (x0 x) f (x0 ) , lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
x0
x
存在，则称函数分别在 x0 处存在左右导数，记作
f( x0 )
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x0
x
如果 f (x) 在区间(a, b)上可导，且 f(a), f(b) 都存在，则称 f (x) 在区间[a,b] 上可导。
例：求下列函数的导函数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f(x) (2)f(x)=x,求f(x) (3)f(x)=x2 , 求f(x) (4) f (x) ex , 求f(x) （5）f(x)=lnx, 求f(x),
有 什 么 共 同 特 征？
2.1.2 导数的定义
1.导数在某一点的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某个临域内有定义， 当自变量x 在 x0处取得某个增量x 时，相应的 函数 y取得增量 y f (x0 x) f (x0 )，如果 y与 x的比值当 x 0时的极限存在，则称 y f (x)在 x0 处可导，并称这个极限为 y f (x) 在 x0 处的导数，记为 f (x0 ) 。即
然后取邻近右边时刻 t 1.01,t 1.1,t 1.001 计算产量在各点的平均变化率
s Q Q(t0 t) Q(t0 )
t
t
t
。。。。。
t
s Q
t
。
。。。。。
。。。。。
1.001 0.001
2.001
1.01
0.01
2.01
1.1
0.1
2.1
从表可以看出， 当时间段 的变化很 小时，平均变 化率很接近某 一确定的值 2.
3、函数在区间上的导数
如果函数 f (x) 在开区间 (a, b)上每一点都有导数，
此时对于每一个
x (a,，b)都对应着一个确定
的导数
f，(x从) 而构成一个新的函数
，并
称这f 个(x函) 数
为 在f 开(x区) 间f 内(x的) 导函数，即
f (x) y lim f (x x) f (x)
s Q Q(t0 t) Q(t0 )
t
t
结果如下：
产品总产量的平均变化率
t
0.9 0.99 0.999
。。。。。。
1
t
-0.1 -0.01 -0.001
。。。。。。。。。
0
s Q t
1.9 1.99 1.999
。。。。，
？
从表可以看出，当时间段t 很小时，平均变化率很
接近某一确定的值 2.
经济应用数学讲义
主 讲 人：杨 利 琴 讲课时间：2014.9.19 邮 箱：yangliqin11@yeah.net
目
录
第一章：经济函数与极限
第二章：导数及其经济应用
第三章：积分及其经济应用
第四章：矩阵与行列式
第五章：概率统计
第二章 导数及其经济应用
➢导数与微分的概念 ➢导数的计算 ➢边际分析 ➢弹性分析 ➢函数的极值 ➢最优化分析
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
导数的几何意义
例：求下列函数的导数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f(0) (2)f(x)=2x,求f(1) (3)f(x)=x2 , 求f(1)，并求函数在点（1,1） 处的切线方程 （4）f(x)=ex , 求f(0) （5）f(x)=lnx, 求f(1),并求函数在点（1,0） 处的切线方程
3、基本初等函数的导数公式
（1）常数函数的导数 若 f (x) C，则 f (x) 0 。
（2）幂函数的导数
一般地，对于幂函数 f (x) x ，有
f ( x) x 1
于是割线MN的斜率为
tan y y0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
令x x0 x, x x0 x
tan y y0 f (x) f (x0 ) = f (x0 +x) f ( x0 )
x x0
x x0
x
当点N沿曲线C趋于M时，即 x 0时，此 时斜率 k 如果存在，则有
引例2
切线的定义:设有经济函数C及C上一点M，在点M附 近取一点N。当点N沿曲线C无限趋于点M时，割线 MN趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在M点 的切线。
如何求我们的切线方程呢？
设 M (x0 , y0 ) ，则 y0 f (x0 ) ，根据上述定义只 要求出切线的斜率就行了。为此，设 N (x, y) ，
k lim tan lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
此时，切线方程为
y k(x x0 ) y0
注意
（1）与曲线只有一个交点的直线不一定是切线。
（2）切线可能与曲线有多个交点。
（3）切线可能穿过曲线位于曲线两侧。
思考？
引例1：产品的平均变化率 引例2：曲线的斜率
为 Q Q(t0 t) Q(t0 )，产品的平均变化率为
s Q Q(t0 t) Q(t0 )
t
t
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当t 0时，若产量平均变化率s 的极限存在，则称此极限
为总产量在t t0时刻的变化率，即
s
s lim Q Q(t0 t) Q(t0 )
t0 t
t
取Q(t) t2 ,求产量在t0 1时刻的变化率，首先取t0 1 邻近左 边时刻 t 0.9,t 0.99,t 0.999 ，计算出产量在个点的平均变 化率
f( x0 )
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
注：函数在点 x0 处可导的充要条件是左右导数 都存在且相等。
左导数
右导数
例：求下列函数的导数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f-(0) (2)f(x)=2x,求f+(1) (3)f(x)=x2 , 求f-(1) （4）f(x)=ex , 求f+(0)
2.1 导数与微分的概念
一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、基本初等函数的导数公式
2.1.1、引例
引例1 （产品总产量的变化率）：在生产过程中，生产总量 Q 是时间 t 的函数，设为 Q Q(t) 。开始时刻t t0 的总产量
为Q(t0 ) ，从开始时刻到时刻t t0 t的总产量改变量