教案 第八章 力矩分配法[18页]

第八章力矩分配法
（4学时）
1.主要内容
8-1 力矩分配法的基本概念
8-2 多结点的力矩分配
8-3 连续梁影响线
2.知识点
8-1 力矩分配法的基本概念
转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。

8-2 多结点的力矩分配
多结点力矩分配的基本思路；多结点的力矩分配解题的基本过程：结点力矩、非结点力矩。

8-3 连续梁影响线
超静定力影响线的作法；连续梁弯矩、剪力影响线的绘制。

3.重点难点
8-1 力矩分配法的基本概念
重点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。

难点：非结点荷载如何转变成结点荷载。

8-2 多结点的力矩分配
重点：掌握多节点力矩分配法解题的基本过程。

难点：结点的锁住、放松。

8-3 连续梁影响线
重点：掌握连续梁影响线的绘制。

8.1 分配法的基本概念
1. 知识点
转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。

2. 重点难点
重 点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。

难 点：非结点荷载如何转变成结点荷载。

知识点：转动刚度、分配系数和传递系数
（1）基本概念
转动刚度S ：杆件的近端发生单位转角时，在该端需要施加的力矩； 分配系数μ：。

BA
BA S S μ=
∑
，只与杆件的线刚度i 和约束条件有关。

传递系数C ：远端弯矩与近端弯矩的比值。

（2）取值
表8.1 等截面直杆的转动刚度和传递系数
（3）实例
例：计算图8.1结构的转动刚度、分配系数和传递系数，EI 为常数。

E
A
C 2a
a
2a a
B D
图8.1
解：
表8.2 转动刚度和传递系数
杆件 远端 转动刚度S
分配系数μ
传递系数C
AB 自由端 0 0 0 AC 固定 4EI ／(2a) 4/9 0.5 AD 铰支 3EI ／(2a) 1/3 -1 AE
滑动
EI ／a
2/9
结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤： 1. 确定结点力矩；
2. 根据转动刚度求分配系数
3. 根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）
4. 根据传递系数求传递力矩（远端弯矩） 实例：
例1：图8.2a 梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩，并绘制弯矩图。

图8.2a 图8.2b
图8.2c
解： （1）转动刚度
S BA = 4i S BC = 3i （2）分配系数 44
33
437
437
BA Bc i i i i i i μμ=
==
=++ （3）分配过程，图8.2b （4）弯矩图，图8.2c 非结点力矩下单结点力矩分配
计算F P 作用下的杆端弯矩，图8.3a 。

图8.3a
（1）在结点B 加一个阻止转动的约束，阻止B 点的转动，图8.3b 。

图8.3b
F F F
B BA B
C BA M M M M =+= 约束力矩等于固端弯矩之和。

（2）在结点B 加上一个力偶-M B ，图8.3c
图8.3c
（3）两种情况叠加，得到实际杆端弯矩。

非结点力矩下单结点力矩分配解题步骤：
（1）先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端弯矩。

结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩M B。

（2）去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递弯矩。

（3）叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。

实例：
例：试用力矩分配法作图8.4a结构弯矩图。

图8.4a 图8.4b 图8.4c
解：（1）先在结点B加上约束，计算固端弯矩和约束力矩，图8.4b和图8.4c。

F
200kN6m
150kN m
8
AB
M
⨯
=-=-⋅
F F150kN m
BA AB
M M
=-=⋅
()2
F
20kN/m6m
90kN m
8
BC
M
⨯
=-=-⋅
150kN m90kN m60kN m
B
M=⋅-⋅=⋅
（2）放松结点B：在B结点上加一个外力偶-60kNm。

进行分配和传递。

转动刚度：43
BA BC
S i S i
==
分配系数：
4433
437437
BA Bc
i i
i i i i
μμ
====
++
分配弯矩：
()
()
'
'
0.5716034.3kN m
0.4296025.7kN m
BA
BC
M
M
=⨯-=-⋅
=⨯-=-⋅
传递弯矩：
''
'
1
17.2kNm
2
AB BA
CB
M M
M
=⨯=-
=
（3）叠加得到最后的杆端弯矩，图8.4d
图8.4d （4）结构弯矩图，图8.4e
图8.4e
8.2 多结点的力矩分配
1.知识点
多结点力矩分配的基本思路；
多结点的力矩分配解题的基本过程：结点力矩、非结点力矩。

2.重点难点
重点：掌握多节点力矩分配法解题的基本过程。

难点：结点的锁住、放松。

知识点：结点力矩下多结点力矩分配的基本思路
例1：图8.5a梁线刚度i 相同，求梁各杆端弯矩。

分析：
图8.5a=图8.5b+图8.5d+图8.5e
图8.5e的计算又返回图8.5a，只是结点力矩变小。

多结点力矩分配是通过加约束和减约束，把多结点问题转化为单结点问题。

知识点：非结点力矩下多结点力矩分配的基本思路
例2：图8.6a梁线刚度i 相同，求梁各杆端弯矩。

图8.6
分析：（1）在结点B、C加约束，阻止结点的转动。

（2）去掉结点B的约束（结点C仍夹紧）。

（3）重新夹紧结点B，然后去掉结点C的约束。

（4）重复（2）和（3），很快达到实际状态。

每放松一次结点相当进行一次单结点的分配与传递运算。

实例：
例3：作图8.7a连续梁的弯矩图。

图8.7a
解：（1）分配系数
1
440.667
6
2
441
8
BA BA
BC BC
S i
S i
==⨯=
==⨯=
0.667
0.4
10.667
1
0.6
10.667
BA
Bc
μ
μ
==
+
==
+
41
30.5
CB CB
CD CD
S i
S i
==
==
0.667
0.333
CB
CD
μ
μ
=
=
（2）固端弯矩
2
F F
F F
P
60kN m60kN m
12
100kN m100kN m
8
AB BA
BC CB
ql
M M
F l
M M
=-=-⋅=⋅
=-=-⋅=⋅
（3）分配过程，图
8.7b
图8.7b
（4）弯矩图，图
8.7c
图8.7c
例4：作图8.8a 刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。

图8.8a
解：（1）转动刚度和分配系数，设：EI 0=1
334BA BE
BC
S S S === 0.3
0.40.3
BA BC BE μμμ=== 423CB CF CD S S S === 0.4450.3330.222CB CD CF μμμ===
（2）固端弯矩
2
2
40kN m
8
41.7kN m41.7kN m
12
F
BA
F F
BC CB
ql
M
ql
M M
==⋅
=-=-⋅=⋅
（3）力矩分配：按C、B顺序分配两轮，图8.8b。

图8.8b
（4）内力图：由杆端弯矩作弯矩图；由杆件的平衡条件作剪力图；由结点的平衡条件作轴力图，见图8.8c。

图8.8c
8.3 连续梁影响线
1.知识点
超静定力影响线的作法；
连续梁弯矩、剪力影响线的绘制。

2.重点
掌握连续梁影响线的绘制。

知识点：超静定力的影响线的作法
（1）撤去与所求的约束力Z1相应的约束。

（2）使体系沿Z1的正方向发生位移，作荷载点的挠度图，即为影响线的形状。

（3）将δP1图除以常数δ11，便确定了影响线的数值。

（4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。

知识点：连续梁弯矩、剪力影响线的绘制
实例：
例：绘制图8.9a结构M C、M K、Q K、Q C右的影响线。

图8.9a
解：M C、M K、Q K、Q C右的影响线的影响线分别见图8.9b~图8.9e。

图8.9b
图8.9c
图8.9d
图8.9e
小结
力矩分配法源于位移法，本质是按杆件刚度和约束状态分配和传递结点力矩。

结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤：
（1）确定结点力矩；
（2）根据转动刚度求分配系数
（3）根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）
（4）根据传递系数求传递力矩（远端弯矩）
非结点力矩下单结点力矩分配解题步骤：
（1）先在刚结点上加阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端弯矩。

结点各杆固端弯矩之和即为约束力矩。

（2）去掉约束，求出各杆端新产生的分配力矩和远端新产生的传递弯矩。

（3）叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。

多结点力矩分配是通过加约束和减约束，把多结点问题转化为单结点问题。

超静定力的影响线的作法：
（1）撤去与所求的约束力Z1相应的约束。

（2）使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载点的挠度图，即为影响线的形状。

（3）将δP1图除以常数δ11，便确定了影响线的数值。

（4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。

练 习
一、单项选择题
1. 等直杆件AB 的弯矩传递系数C AB （ ）
A. 与B 端支承条件及杆件刚度有关
B. 只与B 端的支承条件有关
C. 与A 、B 两端的支承条件有关
D. 只与A 端支承条件有关 2. 图1结构，汇交于结点D 的各杆弯矩分配系数正确的是（ ）
图1
A. 143=
=DE DB μμ 72==DF DC μμ B. 113==DE DB μμ 114=DC μ 11
1
=DF μ
C. 0=DB μ 21=DC μ 83=DE μ 8
1
=DF μ
D. 0=DB
μ 114==DF DC μμ 11
3
=DE μ
3. 图2中不能用力矩分配法的是（ ）
B A
C D
A. B. C. D.
图2
4. 用力矩分配法计算图3结构时，杆端CD 的分配系数CD μ是（ ）
4m
4
m
A B C D
EI
EI
3EI3EI EI
2m4m
图3
A. 1/4
B. 4/13
C. 4/7
D. 1/3
5. 用力矩分配法解图4连续梁时，结点B的约束力矩为（）
M
M
图4
A. 0.5M
B. -0.5M
C. -1.5M
D. 1.5M
二、计算题
1. 用力矩分配法计算图5连续梁，并绘M图。

图5
2. 力矩分配法计算图6结构。

各杆EI＝常数，忽略杆件的轴向变形。

绘制弯矩图。

2
m
D
B
2m
C
2m
A
3L/4
L/4
B
C
D
h
A
P
A
D E
C
F
8m8m
8
m
7kN/m
B
图6
B
3. 力矩分配法计算图7结构，绘制结构的弯矩图。

忽略杆件的轴向变形，各杆EI 相同且为常数。

.
图7
练习答案
一、单项选择题
1. B
2. D
3. D；提示：力矩分配法的适用条件是无结点线位移的结构。

4. C
5. B
二、计算题
1. 解：
（1）利用对称性，原结构可分解为图b和c的叠加；
由图b取半个结构（图d）；图c取半个结构（图e）。

（2）图d：M BA=10kN.m M BC=0 M AB=5kN.m （3）S BA=4i AB=2EI，S CB=3 i BC =1.5EI，μBA=4/7，μBC=3/7 分配过程图e。

（4）弯矩图（图f）
b）
2. 解：（1）利用对称性，选择图a 半边结构。

转动刚度：0.5DA S EI = 0.375DE S EI = 分配系数：47DA μ=
3
7
DE μ= 传递系数：0.5DA C = 0DE C = 固端弯矩：56.F
DE M kN m =- 分配及传递（图b ）；弯矩图（图c ）。

7kN/m
3. 力矩分配法
转动刚度： BA S EI = 0.25BD S EI = 0=BC S 分配系数： 0.8BA μ= 0.2CB μ= 0=BC μ
固端弯矩： 12F
BC
M =- 分配及传递过程：图（1） 弯矩图：图（2）
M (kN m)
(1)
D
C
B A M .(kN m)
(3)
4。