二项分布及其应用

二项分布及其应用

◇条件概率◇

一、条件概率的定义与性质

如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。

1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．

2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝

二、典型例题

1、利用定义求条件概率

例1：抛掷两颗均匀的骰子，问

（1）至少有一颗是6点的概率是多少？

（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？

例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。

（1）求P(A),P(B),P(AB);

(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。

2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率

例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求

（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。

（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么

（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。

（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。

3、条件概率的性质及应用

例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。

例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花}（1）求P(B|A)(2)求P(AB)

三、课堂练习

1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？

2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求第二件也是合格品的概率。

◇事件的相互独立性◇

一、相互独立事件的定义

如果事件A的发生不会影响事件B发生的概率，或事件B的发生不会影响事件A发生的概率，那么事件A与事件B相互独立。

设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立；如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B．

注意区分互斥事件与相互独立事件

二、典型例题

1.相互独立事件的判断

例1：判断下列各对事件是否是相互独立事件：

（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”。

例2：下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？

①抛掷一枚骰子，事件A=“出现1点”，事件B=“出现2点”；

②先后抛掷两枚均匀硬币，事件A=“第一枚出现正面”，事件B=“第二枚出现反面”；

③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A=“第一次取到绿球”，B“第二次取到绿球”。

2.求相互独立事件的概率

例1：设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与B发生的概率都是1

4

，求P（A），P（B）。

例2：某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响。

（1）求这名同学得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率；

例3：甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约

定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是0.5，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有1人面试合格的概率；（2）签约人数X的分布列.

例4：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率4

5

，乙当选的概率为

3

5

，丙当选的概率为

7

10

.

（1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有两人当选的概率.

3.综合题型

例1：甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1

3

和

1

4

，求：（1）两个人都译出密码的概率；

（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；

（4）至多有一个人译出密码的概率；（5）至少有一个人译出密码的概率.

例2：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率为0.6，计算：

（1）两人都投中的概率；（2）至少有一人投中的概率.

4.多个事件的相互独立性

例1：甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。

（三）课堂练习

1、两人打靶，甲击中的概率为0.8。，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是（）

A. 0.56

B.0.48

C.0.75

D.0.6

2、若P(A∩B)=0，则事件A与B的关系是（）

A. 互斥事件

B. A、B中至少有一个为不可能事件

C. 互斥事件或至少有一个是不可能事件

D. 以上都不对

3、国庆节放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分别是1

3

、

1

4

、

1

5

，假设三人的行动互不影响，那么这段时间至少有1

人外出旅游的概率为（）

A. 59

60

B.

3

5

C.

1

2

D.

1

60

4、将一个硬币连掷5次，5次出现正面的概率是;